Matemática, perguntado por dafnerochamoraes, 8 meses atrás

Em uma outra escola, com 1305 alunos, foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento de três
linguas estrangeiras: inglês, espanhol e alemão.
Nessa pesquisa, constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol
, 50 falam alemão e
280 não falam qualquer um desses idiomas. Além disso, foi observado que 100 alunos falam inglês e
espanhol, 20 falam inglês e alemão e 10 falam espanhol e alemão.
Ao escolher um aluno dessa escola ao acaso, a probabilidade de que ele fale apenas espanhol e alemão é
a) igual a um terço da probabilidade de ele falar os três idiomas.
b) igual a metade da probabilidade de ele falar os três idiomas.
c) igual a probabilidade de ele falar os três idiomas.
d) igual ao dobro da probabilidade de ele falar os três idiomas.
e) igual ao triplo da probabilidade de ele falar os três idiomas
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Soluções para a tarefa

Respondido por Atoshiki

Para encontrarmos a probabilidade de que ao escolher um aluno que fale Espanhol e Alemão, devemos encontrar o valor de X, ou seja, a quantidade de alunos que falam Inglês, Espanhol e Alemão.

Para facilitar a nossa visualização e interpretação dos dados apresentados pelo enunciado, vamos distribui-los no diagrama de Venn.

Antes de iniciarmos os cálculos, saiba que do total de alunos que falam uma determinada língua, estão inclusos aqueles que falam APENAS uma língua, aqueles que falam duas línguas e também aqueles que falam as três línguas. Desta forma, devemos descontar uma da outra.

Na sequência, devemos somar todos os valores e expressões do diagrama e igualar ao total de alunos da escola a fim de encontrar a quantidade de alunos que falam as três línguas.

E por fim, dividindo os dados conforme orientado, ou seja, "...probabilidade de que ele fale apenas espanhol e alemão...", pelo total de alunos da escola. encontraremos a probabilidade. Porém, não será necessário efetuar tal conta. Veja:

Dados:

Escola com 1305 alunos:

600 falam Inglês
500 falam Espanhol
50 falam Alemão
280 não falam nenhuma das matérias
100 falam Inglês e Espanhol
20 falam Inglês e Alemão
10 falam Espanhol e Alemão
Probabilidade da escolha de 1 aluno falar Alemão e Espanhol = ?

Seja:

I = falam Inglês

E = falam Espanhol

A = falam Alemão

Descontando dos que falam duas matérias, aqueles que falam três idiomas:

⇒ I ∩ E (falam Inglês e Espanhol):

qtde que falam I ∩ E - qtde que falam I ∩ E ∩ A = 100 - X ←←←

⇒ I ∩ A (falam Inglês e Alemão):

qtde que falam I ∩ A - qtde que falam I ∩ E ∩ A = 20 - X ←←←

⇒ E ∩ A (falam Espanhol e Alemão):

qtde que falam E ∩ A - qtde que falam I ∩ E ∩ A = 10 - X ←←←

Descontando dos que falam uma matéria, aqueles que falam duas e três idiomas:

⇒ Apensas falam I:

qtde que falam I - I ∩ E - I ∩ A - I ∩ E ∩ A =

600 - (100 - X) - (20 - X) - X=

600 - 100 + X - 20 + X - X = 480 + X ←←←

⇒ Apenas falam E:

qtde que falam E - I ∩ E - E ∩ A - I ∩ E ∩ A =

500 - (100 - X) - (10 - X) - X =

500 - 100 + X - 10 + X - X = 390 + X ←←←

⇒ Apenas falam A:

qtde que falam A - I ∩ A - E ∩ A - I ∩ E ∩ A =

50 - (20 - X) - (10 - X) - X =

50 - 20 + X - 10 + X - X = 20 + X ←←←

Montando o diagrama de Venn:

$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\bezier(-3,0)(-2.77,2.77)(0,3)\bezier(3,0)(2.77,2.77)(0,3)\bezier(-3,0)(-2.77,-2.77)(0,-3)\bezier(3,0)(2.77,-2.77)(0,-3)\bezier(0,0)(0.17,2.77)(3,3)\bezier(6,0)(5.77,2.77)(3,3)\bezier(0,0)(0.17,-2.77)(3,-3)\bezier(6,0)(5.77,-2.77)(3,-3)\bezier(-1.5,3)(-1.4,5.77)(1.5,6)\bezier(4.5,3)(4.4,5.77)(1.5,6)\bezier(-1.5,3)(-1.17,0.2)(1.5,0)\bezier(4.5,3)(4.27,0.2)(1.5,0)\put(1.3,5){\Large$\sf I\;480+X$}\put(5.2,-0.2){\Large$\sf A\;20+X$}\put(-2.7,-0.2){\Large$\sf E\;390+X$}\put(-1,2){\Large$\sf 100-X$}\put(2.6,2){\Large$\sf 20-X$}\put(0.7,-1.4){\Large$\sf 10-X$}\put(0.4,0.4){\Large$\sf X$}\put(5,5){\dashbox{0.1}(4.5,1){\Large$\sf ttl 1305\;alunos $}}\put(5,4){\dashbox{0.1}(4.5,1){\Large$\sf 280\;nd\;falam$}}\end{picture}$

Cálculo dos alunos que falam três idiomas:

I + E + A + I ∩ E + I ∩ A + E ∩ A + I ∩ E ∩ A + 280 = 1305

480 + X + 390 + X + 20 + X + 100 - X + 20 - X + 10 - X + X + 280 = 1305

X + 1300 = 1305

X = 1305 - 1300

X = 5

Encontrando a probabilidade de que um aluno fale Espanhol e Alemão:

E ∩ A = 10 - X → temos o valor de X! Substituindo...

E ∩ A = 10 - 5

E ∩ A = 5

Opa!?! Note que E ∩ A (que falam Espanhol e Alemão) e I ∩ E ∩ A (que falam as três línguas), possuem a mesma quantidade de alunos, ou seja, 5. Com isto, a probabilidade de ambos é a mesma!