Em uma orquestra de cordas, sopro e percussão, 23 pessoas tocam instrumentos de corda, 18 tocam instrumentos de sopro e 12 tocam instrumentos de percussão. Nenhum de seus componentes toca os três tipos de instrumentos, mas 10 tocam instrumentos de corda e sopro, 6 tocam instrumentos de corda e percussão e alguns tocam instrumentos de sopro e percussão. No mínimo, quantos componentes há nessa
orquestra?
Soluções para a tarefa
Resposta: Vamos construir uma tabela com os dados do enunciado e completá-la à medida que calcularmos
a quantidade de pessoas que tocam cada tipo de instrumento: comecemos lembrando que ninguém toca os três
tipos de instrumento. Assim, nossa tabela com os dados do enunciado começa com:
Instrumento(s) Número de pessoas
Apenas cordas x
Apenas sopro y
Apenas percussão z
Cordas e sopro 10
Cordas e percussão 6
Sopro e percussão w
Perceba agora que, das 23 pessoas que tocam instrumentos de corda, 10 tocam também instrumentos de sopro
e 6 de percussão. Como não há músicos tocando os três tipos de instrumento na orquestra, todas as 7 pessoas
restantes tocam apenas instrumentos de corda, isto é, x = 7. Agora, como há 12 pessoas nos instrumentos
de percussão, z + 6 + w = 12, isto é, z + w = 6. Ainda, já que 18 pessoas tocam instrumentos de sopro,
y + 10 + w = 18. Portanto, temos o seguinte sistema linear:
(
z + w = 6
y + w = 8
.
Subtraindo a equação de cima da de baixo, obtemos y − z = 2, isto é, y = z + 2. Incluindo essas informações
na tabela sendo construída, temos:
Instrumento(s) Número de pessoas
Apenas cordas 7
Apenas sopro z + 2
Apenas percussão z
Cordas e sopro 10
Cordas e percussão 6
Sopro e percussão w
Lembre-se agora de nosso objetivo: queremos encontrar o menor número possível de integrantes para a
orquestra, que é dado pela soma de todos os dados da tabela. Assim, nosso objetivo é encontrar o menor valor
possível de 7 + z + 2 + z + 10 + 6 + w = w + 2z + 25. Como o 25 é independente dos valores de z e w, queremos
minimizar a soma 2z + w = z + 6 (a igualdade se deve à primeira equação do sistema linear acima). Como
o 6 também independe de z, queremos minimizar z, sujeito à condição única de que z ∈ N (pois as variáveis
representam quantidades (no sentido de contagem), ou seja, não existe "meio músico"ou -2 músicos). Assim, o
menor valor possível para z é z = 0, fazendo com que w = 6. Assim, a tabela, completa, é:
Instrumento(s) Número de pessoas
Apenas cordas 7
Apenas sopro 2
Apenas percussão 0
Cordas e sopro 10
Cordas e percussão 6
Sopro e percussão 0
Total 31