Em uma orquestra de cordas, sopro e percussao,
23 pessoas tocam instrumentos de corda, 18 tocam instrumentos de sopro e 12 tocam instrumentos
de percussão. Nenhum de seus componentes toca os
três tipos de instrumentos, mas 10 tocam instrumentos de corda e sopro, 6 tocam instrumentos de corda
e percussão e alguns tocam instrumentos de sopro e
percussão. No mínimo, quantos componentes ha nessa orquestra?
Soluções para a tarefa
Vamos construir uma tabela com os dados do enunciado e completá-la à medida que calcularmos a quantidade de pessoas que tocam cada tipo de instrumento: comecemos lembrando que ninguém toca os três tipos de instrumento. Assim, nossa tabela com os dados do enunciado começa com:
Apenas cordas --------- x
Apenas sopro ------------ y
Apenas percussão ----- z
Cordas e sopro --------- 10
Cordas e percussão --- 6
Sopro e percussão ----- w
Perceba agora que, das 23 pessoas que tocam instrumentos de corda, 10 tocam também instrumentos de sopro e 6 de percussão. Como não há músicos tocando os três tipos de instrumento na orquestra, todas as 7 pessoas restantes tocam apenas instrumentos de corda, isto é, x = 7. Agora, como há 12 pessoas nos instrumentos de percussão, z + 6 + w = 12, isto é, z + w = 6. Ainda, já que 18 pessoas tocam instrumentos de sopro, y + 10 + w = 18. Portanto, temos o seguinte sistema linear:
z + w = 6
y + w = 8
Subtraindo a equação de cima da de baixo, obtemos y − z = 2, isto é, y = z + 2. Incluindo essas informações na tabela sendo construída, temos:
Apenas cordas = 7
Apenas sopro = z + 2
Apenas percussão = z
Cordas e sopro = 10
Cordas e percussão = 6
Sopro e percussão = w
Lembre-se agora de nosso objetivo: queremos encontrar o menor número possível de integrantes para a orquestra, que é dado pela soma de todos os dados da tabela. Assim, nosso objetivo é encontrar o menor valor possível de 7 + z + 2 + z + 10 + 6 + w = w + 2z + 25. Como o 25 é independente dos valores de z e w, queremos minimizar a soma 2z + w = z + 6 (a igualdade se deve à primeira equação do sistema linear acima). Como o 6 também independe de z, queremos minimizar z, sujeito à condição única de que z ∈ N (pois as variáveis representam quantidades (no sentido de contagem), ou seja, não existe "meio músico"ou -2 músicos). Assim, o menor valor possível para z é z = 0, fazendo com que w = 6. Assim, a tabela, completa, é:
Apenas cordas = 7
Apenas sopro = 2
Apenas percussão = 0
Cordas e sopro = 10
Cordas e percussão = 6
Sopro e percussão = 0
Total 31 = altern. A
Resposta:
Apenas cordas = 7
Apenas sopro = 2
Apenas percussão = 0
Cordas e sopro = 10
Cordas e percussão = 6
Sopro e percussão = 0
Total 31 = altern. A