Question

Em uma olimpiada de matematica foram distribuidas varias medalhas de ouro,varias de prata e varias de bronze,cada participante premiado pode receber uma
unica medalha.aldo,Beto,Carlos,Diogo e Elvis participaram dessa olimpiada e apenas dois deles foram premiados.de quantas formas, diferentes pode ter acontecido essa premiação?

Answer 1

=> Temos uma situação um pouco complexa de aanalisar, vamos raciocinar por partes:

 

1º - Vamos determinar quantos "grupos" de 2 podemos formar com os 5 iniciais (note que a "ordem" é importante porque as medalhas são diferentes).

 

Situação clássica de arranjo simples

 

A(5,2) = 5!/(5-2)!

 

A(5,2) = 5.4.3!/3!

 

A(5,2) = 5.4

 

A(5,2) = 20 maneiras diferentes de formar "grupos" de 2 elementos

 

 

 

2º Note que o número de medalhas é de 3 diferentes e os grupos que calculamos em (1) são de 2 pessoas, assim vamos ver quantas combinações de 2 podemos fazer com 3 medalhas, donde resulta:

 

C(3,2) = 3!/2!(3-2)!

 

C(3,2) = 3!/2!1!

 

C(3,2) = 3.2!/2!

 

C(3,2) = 3 

 

 

 

Pronto admitindo QUE NÃO HÁ EMPATES na classificação o número (N) de formas diferentes será dado por:

 

N = C(3,2) . A(5,2)

 

N = 3 . 20 

 

N = 60 <--- formas diferentes de atribuição das medalhas (sem empates)

 

 

 

3º Como foram atribuídas VÁRIAS MEDALHAS (de cada tipo) isto deixa a possibilidade de empate a considerar também

 

Neste caso os "grupos" de 2 elementos a formar não importa a "ordem" porque é só um tipo de medalha, donde resulta:

 

C(5,2) = 5!/2!(5-2)!

 

C(5,2) = 5!/2!3!

 

C(5,2) = 5.4.3!/2!3!

 

C(5,2) = 5.4/2

 

C(5,2) = 10 

 

...e como são 3 medalhas, então o número total de situações de empate será dado por:

 

N = 3 . C(5,2)

 

N = 3 . 10

 

N = 30

 

 

 

Assim e finalmente o número TOTAL de formas de acontecer a premiação será dado por:

 

N = C(3,2) . A(5,2) + 3 . C(5,2)

 

N = 3 . 20 + 3 . 10

 

N = 60 + 30

 

N = 90 <--- total de formas diferentes de atribuir as medalhas

 

 

 

Espero ter ajudado