Em uma olimpíada de matemática, foram distribuídas varias medalhas de ouro, varias de prata e varias de bronze. Cada participante premiado pode receber uma unica medalha. Aldo, Beto, Carlos Diogo e Elvis participaram dessa olimpíada e apenas dois deles foram premiados. Quantas formas diferentes pode ter acontecido essa premiação?
Soluções para a tarefa
1º - Vamos determinar quantos "grupos" de 2 podemos formar com os 5 iniciais (note que a "ordem" é importante porque as medalhas são diferentes).
Situação clássica de arranjo simples
A(5,2) = 5!/(5-2)!
A(5,2) = 5.4.3!/3!
A(5,2) = 5.4
A(5,2) = 20 maneiras diferentes de formar "grupos" de 2 elementos
2º Note que o número de medalhas é de 3 diferentes e os grupos que calculamos em (1) são de 2 pessoas, assim vamos ver quantas combinações de 2 podemos fazer com 3 medalhas, donde resulta:
C(3,2) = 3!/2!(3-2)!
C(3,2) = 3!/2!1!
C(3,2) = 3.2!/2!
C(3,2) = 3
Pronto admitindo QUE NÃO HÁ EMPATES na classificação o número (N) de formas diferentes será dado por:
N = C(3,2) . A(5,2)
N = 3 . 20
N = 60 <--- formas diferentes de atribuição das medalhas (sem empates)
3º Como foram atribuídas VÁRIAS MEDALHAS (de cada tipo) isto deixa a possibilidade de empate a considerar também
Neste caso os "grupos" de 2 elementos a formar não importa a "ordem" porque é só um tipo de medalha, donde resulta:
C(5,2) = 5!/2!(5-2)!
C(5,2) = 5!/2!3!
C(5,2) = 5.4.3!/2!3!
C(5,2) = 5.4/2
C(5,2) = 10
...e como são 3 medalhas, então o número total de situações de empate será dado por:
N = 3 . C(5,2)
N = 3 . 10
N = 30
Assim e finalmente o número TOTAL de formas de acontecer a premiação será dado por:
N = C(3,2) . A(5,2) + 3 . C(5,2)
N = 3 . 20 + 3 . 10
N = 60 + 30
N = 90 <--- total de formas diferentes de atribuir as medalhas
Espero ter ajudado