em uma mesa circular, tem 6 lugares com cadeiras de cores diferentes. de quantos modos 3 casais podem ocupar esses seis lugares de forma com que os três rapazes fiquem juntos e as três moças também mas nenhum fique junto de suas namoradas?
Soluções para a tarefa
i) Análise Combinatória Circular
ii)
Em uma primeira situação imagine a configuração no anexo 1, os três homens foram fixados em um lado da mesa: H1, H2 e H3. Note que cada um deles pode simplesmente trocar de lugar com o outro e forma uma nova configuração (a ordem importa) logo temos uma permutação de três elementos: 3! é igual a 6.
Calma... veja que os homens poderiam estar nesta configuração do outro lado, como mostra o anexo 2, logo teríamos 3! outra vez, que daria 6 também.
Como as duas possibilidade são possíveis fazemos o produto dos valores encontrados (6.6 = 36 possibilidades) para os homens, vamos as mulheres.
Para as mulheres existe a possibilidade no anexo 3, em que M2 fica ao lado de H1, M3 no centro e M1 ao lado de M3 (esta forma está fixa) logo temos uma possibilidade (1.1.1).
Se M3 ficar ao lado de H1, temos outra configuração. Serão duas possibilidade para o meio, e uma possibilidade para ficar ao lado de M3 (1.2.1).
Temos até agora: Na primeira configuração (36.1 = 36), na segunda configuração (36.2 = 72).
Somando os valores: 72 + 36 = 108 possibilidades.
Temos uma questão de Análise Combinatória, onde temos que arranjar pessoas em ordens. Essa questão pode seguir dois métodos, sendo uma delas mais intuitiva e “prática”. A seguir demonstro os dois.
Método 01
Para resolver essa questão de maneira mais fácil é importante a separação da resolução em partes: primeiro pensando nas posições dos rapazes, depois das moças e por fim as variações. Por se tratar da organização de pessoas em posições distintas, em todos os casos estaremos lidando com arranjos.
Regras gerais que devemos lembrar:
Os 3 rapazes devem ficar juntos;
As 3 moças devem ficar juntas;
Não pode se formar casais
- Posições dos rapazes
Tendo em vista a regra mencionada acima, os rapazes podem se organizar em 3 posições diferentes, com a possibilidade de trocarem de lugar entre eles. Por exemplo, o primeiro rapaz pode e no lugar do segundo e esse ir no lugar do terceiro. Esse tipo de organização, em que 3 pessoas vão preencher 3 cadeiras vagas, pode ser expresso como o seguinte arranjo:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
Apresentando de outra forma, pode-se pensar que existe a possibilidade dos rapazes se organizarem de 6 maneiras diferentes:
Pos. 1: Rapaz 1, Rapaz 2, Rapaz 3
Pos. 2: Rapaz 1, Rapaz 3, Rapaz 2
Pos. 3: Rapaz 2, Rapaz 1, Rapaz 3
Pos. 4: Rapaz 2, Rapaz 3, Rapaz 1
Pos. 5: Rapaz 3, Rapaz 2, Rapaz 1
Pos. 6: Rapaz 3, Rapaz 1, Rapaz 2
Vamos para o próximo passo.
- Posições das moças
Considerando que as moças não podem ficar do lado dos seus respectivos namorados, depois de organizar os rapazes, o próximo passo é garantir as separações. A única forma de garantir que os casais não se formem é controlando as variáveis, escolhendo qual moça fica perto de qual rapaz – e isso equivale a fixar uma moça em cada borda, que pode ser expresso como:
1 × 2 × 1 = 2
Nesse caso, como o controle das posições das moças depende das posições dos rapazes, naturalmente as possibilidades de cada caso estarão juntas – o que pode ser expresso como:
(1 × 2 × 1) × 3! = 2 × 6 = 12
Apresentando de outra forma, pode-se pensar que existe a possibilidade das moças se organizarem em relação aos rapazes de 12 maneiras diferentes:
1° e 2°:
3° e 4°:
5° e 6°:
7° e 8°:
9° e 10°:
11° e 12°:
- Variações das posições
Agora que temos as possibilidades de moças e rapazes em seus respectivos lugares, devemos considerar que eles podem girar ao redor da mesa, com os trios indo para direta ou esquerda (como exemplifica o anexo).
Considerando que as pessoas estivessem fixas em uma organização, e pudessem rodar, deve-se pensar que existem 6 possibilidades de cadeiras para cada uma das pessoas (sejam moças ou rapazes). Assim, podemos representar todo o cálculo da seguinte maneira:
(Possibilidades para rapazes + Possibilidades para moças) × Variações =
(6 + 12) × 6 =
(18) × 6 =
108
Com isso, conclui-se que a resposta final está na alternativa D) 108.
Método 02
Considerando os requisitos para organização das pessoas, pode-se usar alguns princípios de PFC para chegar no resultado final.
As possibilidades disponíveis para os rapazes são iguais ao arranjo de sua quantidade (3!) + as possibilidades de movimentação que são iguais a quantidade de cadeiras (6), que segue um padrão semelhante a imagem em anexo. Considerando isso, temos as possibilidades dos rapazes:
3! × 6 = 6 × 6 = 36
As possibilidades para moças, por sua vez, dependem das posições dos rapazes, exigindo que duas posições tenham moças fixas. Dessa forma, as possibilidades vão ser 1 × 2 × 1, completando-se com as possibilidades dos rapazes. Teremos:
1 × 2 × 1 × 36 =
2 × 36 =
72
Somando as duas possibilidades:
36 + 72 = 108
Com isso, conclui-se que a resposta final está na alternativa D) 108.
Questão da Prova da OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas).
