Question

Em uma loja, o proprietário pediu para o matemático calcular as funções de custo e de receita dos seus produtos. Obteve então a função custo C(x) = 20x – x² e a função receita R(x) = 60x – 3x², onde x é a quantidade de produtos vendidas. Determine o lucro máximo da empresa. Escolha uma: a. R$ 300 b. R$ 280 c. R$ 240 d. R$ 180 e. R$ 200

Answer 1

Para resolver essa questão, devemos lembrar que:

• A função lucro é a diferença entre a função receita e a função custo. Caso o resultado seja positivo, houve lucro; se negativo, houve prejuízo.

$\boxed{\sf L(x) = R(x) - C(x)}$

Sabendo disso, vamos substituir os valores das funções nos seus respectivos locais:

$\sf L(x) = 60x - 3x {}^{2} - (20x - x {}^{2} ) \\ \sf L(x) = 60x - 3x {}^{2} - 20x + x {}^{2} \\ \boxed{ \sf L(x) = - 2x {}^{2} + 40x }$

Agora temos a função Lucro L(x). A questão pergunta o qual será o lucro máximo da empresa, para isso vamos usar a fórmula do "y" do vértice, dada por:

$\sf Y_v = \sf\frac{-\Delta}{4a}$

Substituindo os dados:

$\sf L(x) = -2{x}^{2} + 40x \\ \begin{cases} \sf a = - 2 \\ \sf b = 40 \\ \sf c = 0\end{cases} \\ \\ \sf Y_v = \frac{ - (b {}^{2} - 4.a.c)}{4.a} \\ \\ \sf Y_v = \frac{ - (40 {}^{2} - 4.( - 2).0) }{4.( - 2)} \\ \\ \sf Y_v = \frac{ - (1600 - 0)}{ - 8} \\ \\ \sf Y_v = \frac{ - 1600}{ - 8} \\ \\ \boxed{\sf Y_v = 200,00 \: \: lucro \: m \acute{a}ximo}$

Espero ter ajudado