Question

Em uma loja de materiais para construção, as mercadorias cimento, pedra e areia, de um único tipo cada uma, são vendidas para três pessoas. O primeiro comprou 10 sacos de cimento, três metros cúbicos de pedra e dois metros cúbicos de areia lavada, pagando R$ 910,00; o segundo adquiriu vinte sacos de cimento, um metro cúbico de pedra e um metro cúbico de areia lavada, pagando R$ 840,00; o terceiro comprou 15 sacos de cimento, quatro metros cúbicos de pedra e três metros cúbicos de areia lavada pagando R$ 1.300,00. Cada uma dessas pessoas, após as compras, não podendo verificar os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: “A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço do saco de cimento, do metro cúbico da pedra e da areia lavada?” Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Com base no que é proposto acima, responda: a) Qual o tipo de Sistema Linear formado? b) Há soluções para o Sistema proposto, se sim, quais?

Answer 1

Considere que:

c = preço do saco de cimento

p = preço do metro cúbico de pedra

a = preço do metro cúbico de areia lavada

De acordo com o enunciado, podemos montar o seguinte sistema:

{10c + 3p + 2a = 910

{20c + p + a = 840

{15c + 4p + 3a = 1300

Para resolver esse sistema, precisamos escalonar a seguinte matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}10&3&2|910\\20&1&1|840\\15&4&3|1300\end{array}\right]$

Fazendo L2 ← L2 - 2L1:

$\left[\begin{array}{ccc}10&3&2|910\\0&-5&-3|-980\\15&4&3|1300\end{array}\right]$

Fazendo L3 ← L3 - 3L1/2:

$\left[\begin{array}{ccc}10&3&2|910\\0&-5&-3|-980\\0&-\frac{1}{2}&0|-65\end{array}\right]$

Fazendo L3 ← L3 - L2/10:

$\left[\begin{array}{ccc}10&3&2|910\\0&-5&-3|-980\\0&0&\frac{3}{10}|33\end{array}\right]$

Então, temos o seguinte sistema:

{10c + 3p + 2a = 910

{-5p - 3a = -980

{3a/10 = 33

Da última equação:

3a = 330

a = 110

Substituindo o valor de a na segunda equação:

-5p - 3.110 = -980

-5p - 330 = -980

-5p = -650

p = 130

Substituindo o valor de a e p na primeira equação:

10c + 3.130 + 2.110 = 910

10c + 390 + 220 = 910

10c = 910 - 610

10c = 300

c = 30

Portanto:

a) O sistema linear é possível e determinado.

b) Sim. A solução é o único ponto (30,130,110).