Question

Em uma loja de ferragens, onde trabalham 5 homens e 7 mulheres, pretende-se formar uma equipe de trabalho com 5 pessoas, com a presença de, pelo menos, um homem. O número de formas distintas de se compor essa equipe é:

Answer 1

Boa tarde!

Sendo 12 pessoas ao total, a forma de se formar equipes com 5 pessoas seria, sem restrições, obtidas pela combinação de 12 com 5, assim:

$\binom{12}{5}=\dfrac{12!}{5!(12-5)!}=\dfrac{12.11.10.9.8.\cancel{7!}}{5!.\cancel{7!}}\\=\dfrac{12.11.10.9.8}{5.4.3.2.1}=12.11.2.3=132.6=792$

Portanto, 792 formas de se formar equipes de 5 pessoas de um total de 12.

Mas existe uma restrição, nessas 12 pessoas, 5 são homens e 7 mulheres.

E quer a presença, de no mínimo, 1 homem.

Então, as equipes terão:

1 H + 4 M

ou

2 H + 3 M

ou

3 H + 2 M

ou

4 H + 1 M

ou

5 H

Se fizermos as combinações dessas pessoas, formando equipes, demoraremos um pouco para chegar no resultado, já que a conta será:

$\binom{5}{1}\cdot\binom{7}{4}+\binom{5}{2}\cdot\binom{7}{3}+\binom{5}{3}\cdot\binom{7}{2}+\binom{5}{4}\cdot\binom{7}{1}+\binom{5}{5}$

Essa operação anterior pode ter o resultado obtido de:

$\binom{7}{5}+\binom{5}{1}\cdot\binom{7}{4}+\binom{5}{2}\cdot\binom{7}{3}+\binom{5}{3}\cdot\binom{7}{2}+\binom{5}{4}\cdot\binom{7}{1}+\binom{5}{5}=\binom{12}{5}\\\binom{5}{1}\cdot\binom{7}{4}+\binom{5}{2}\cdot\binom{7}{3}+\binom{5}{3}\cdot\binom{7}{2}+\binom{5}{4}\cdot\binom{7}{1}+\binom{5}{5}=\binom{12}{5}-\binom{7}{5}=792-\dfrac{7!}{5!(7-5)!}=792-\dfrac{7.6}{2.1}=792-21=771$

Espero ter ajudado!