Question

Em uma hidrelétrica , o desnível da tubulação responsável por mover os geradores é de 0,150 km. Considere que a água escoa para dentro da tubulação com área de seção transversal de 0,75 m² com uma velocidade de 0,5 m/s e que escoa para fora da tubulação , com área de seção transversal menor, com velocidade de 9,5 m/s. Com base na situação , assinale V ( verdadeiro ) ou F ( falso ) para as alternativas. ( Dados : densidade da água = 10³ kg/m³ e aceleração da gravidade da gravidade 10 m/s².

-> Marque V para os itens verdadeiros e F para os falsos:

a) ( ) Não é possível calcular a diferença de pressão entre os pontos de entrada e saída da tubulação , pois não foi informada a área da seção transversal na saída.
b) ( ) A diferença de pressão entre os pontos de entrada e saída é de 1,495 kPa.
c) ( ) A densidade do líquido não altera a diferença de pressão.
d) ( ) A diferença de pressão entre os pontos de entrada e saída seria a aproximadamente a mesma que um corpo que variasse sua profundidade de 500 metros para 2000 metros no oceano.

Answer 1

Observe a figura em anexo, com a figura da tubulação e o seu desnível.


a) FALSA (F).

É possível sim encontrar a diferença de pressão entre os pontos 1 (entrada) e 2 (saída). Observe os dados que temos:

•   $A_1=0,\!75\mathrm{~m^2};$

•   $v_1=0,\!5\mathrm{~m/s};$

•   $v_2=9,\!5\mathrm{~m/s};$

•   $\rho=10^3\mathrm{~kg/m^3};$

•   $g=10\mathrm{~m/s^2}.$

•   $h_1=0,\!150\mathrm{~km}=150\mathrm{~m};$

•   $h_2=0.$


Da equação de Bernoulli, devemos ter

$P_1+\rho g h_1+\dfrac{1}{2}\rho v_1^2=P_2+\rho g h_2+\dfrac{1}{2}\rho v_2^2\\\\\\ P_2-P_1=\rho g h_1+\dfrac{1}{2}\rho v_1^2-\rho g h_2-\dfrac{1}{2}\rho v_2^2\\\\\\ P_2-P_1=\rho g(h_1-h_2)+\dfrac{1}{2}\rho (v_1^2-v_2^2)\quad\quad\mathbf{(i)}$


Veja que todas as grandezas do lado direito tem valores conhecidos. Logo, é possível calcular a diferença de pressão entre os pontos de entrada e de saída.

_______

b) FALSA (F).

$P_2-P_1=\rho g(h_1-h_2)+\dfrac{1}{2}\rho (v_1^2-v_2^2)\\\\\\ P_2-P_1=10^3\cdot 10\cdot (150-0)+\dfrac{1}{2}\cdot 10^3\cdot (0,\!5^2-9,\!5^2)\\\\\\ P_2-P_1=10^4\cdot 150+\dfrac{1}{2}\cdot 10^3\cdot (0,\!25-90,\!25)\\\\\\ P_2-P_1=10^4\cdot 150+\dfrac{1}{2}\cdot 10^3\cdot (-90)\\\\\\ P_2-P_1=10^4\cdot 150-45\cdot 10^3\\\\ P_2-P_1=1500\cdot 10^3-45\cdot 10^3\\\\ P_2-P_1=1455\cdot 10^3\mathrm{~Pa}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}P_2-P_1=1455\mathrm{~kPa} \end{array}}$

_______

c) FALSA (F).

Observe que da equação $\mathbf{(i)}$ temos

$P_2-P_1=\rho\cdot \left[ g(h_1-h_2)+\dfrac{1}{2}(v_1^2-v_2^2) \right]$

se mudarmos apenas o valor de $\rho,$ enquanto as outras medidas permanecerem a mesma, obrigatoriamente o valor obtido para a diferença de pressão será diferente.

_______

d) FALSA (F).

Vamos assumir que a densidade da água do oceano é aproximadamente $10^3\mathrm{~kg/m^3}.$

A variação de pressão de um corpo que varia a profundidade de 500 m para 2000 m é calculada pela Lei de Stevin:

$\Delta P=\rho g \Delta h\\\\ \Delta P=10^3\cdot 10\cdot (2000-500)\\\\ \Delta P=10^3\cdot 10\cdot 1500\\\\ \Delta P=15\,000\mathrm{~kPa}$


Este valor passa bem longe do encontrado para a diferença $P_1-P_2.$ É quase 10 vezes maior.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Deixei de postar achando que estava errado.. rs

a) Falso. Pela equação de continuidade (Vazão (Z) = Área (A) * Velocidade (v) → constante), temos :

Z1 = Z2
A1 * v1 = A2 * v2 
Sendo ⇒
A1 = 0,75 m²;
v1 = 0,5 m/s;
A2 = ???...
v2 = 9,5 m/s...

0,75 * 0,5 = A2 * 9,5
0,375 / 9,5 = A2
A2 ≈ 0.039 m² ⇒ esta é a área aproximada da secção de saída !

b) Pela Equação de Bernoulli :

P1 + dgH1 +d * v1² / 2 = P2 + dgH2 +d * v2² / 2
(P ⇒ Pressão;
d ⇒ Densidade;
g ⇒ Ac. gravitacional;
H ⇒ Altura.
v ⇒ Velocidade...)
Considerando que, na entrada (1), a água esteja a uma altura de 0,15 Km (150 m) e na saída, esteja na altura 0 m (desnível de 0,15 Km, como dito), então :

P1 + 1000 * 10 * 150 + 1000 * 0,5² / 2 = P2 + 1000 * 10 * 0 + 1000 * 9,5² /2

P1 + 1500000 + 125 = P2 + 45125 ⇒ Isolando P1 e P2 :

1500125 - 45125 = P2 - P1

1455000 = P2 -P1

P2 -P1 = 1455 KPa ⇒ Esta é a diferença de pressão, logo, falsa !
c) Falso. Tanto pela equação da pressão hidrostática (Ph = d * g * ΔH) quanto por Bernoulli é comprovado que a densidade (d) influencia na pressão (P)...

d) Calculando a diferença de profundidade (ΔH)
ΔH = 2000 -500 
ΔH = 1500 m ⇒ A pessoa variou 1500 m !

Pressão hidrostática = densidade * ac. gravidade * variação de profundiade
Ph = d * g * ΔH 
Sendo ⇒ 
d = 1000 Kg/m³;
g = 10 m/s²;
ΔH = 1500 m...

Ph = 1000 * 10 * 1500
Ph = 15000000 Pa
Ph = 15000 KPa ⇒ Esta é a pressão sentida pela pessoa, logo, falsa também !