Question

Em uma função do primeiro grau, conhecendo-se dois pontos é possível encontrar sua expressão analítica e assim encontrar o valor de f(x) em qualquer valor de x desejado. Considere que a função de f é definida como f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(2) = 1. Então, pode-se afirmar que f(5) é:​​​​​​​​​​​​​​​​​​

A) -1
B) 1
C) 2_
3
D) -2_
3
E) 7_
3

Answer 1

Resposta:  alternativa A) − 1.

Explicação passo a passo:

Temos uma função polinomial do primeiro grau

    $\begin{array}{ccll}f:&\mathbb{R}&\!\!\!\to\!\!\!&\mathbb{R}\\&x&\!\!\!\mapsto\!\!\!& f(x)=ax+b \end{array}$

com $a\ne 0,$ e conhecemos dois pontos de seu gráfico:

   

    $\begin{array}{lcl}f(-1)=3&\quad\Longleftrightarrow\quad&A(-1,\,3)\in\mathrm{graf}(f)\\\\ f(2)=1&\quad\Longleftrightarrow\quad&B(2,\,1)\in\mathrm{graf}(f) \end{array}$

• Encontrando o valor de $a:$

O valor de $a$ é a taxa de variação média da função $f$, e também o coeficiente angular da reta de equação $y=f(x)=ax+b.$

Como temos dois pontos $A(-1,\,3)$ e $B(2,\,1)$ que pertencem à reta, podemos calcular o valor de $a$ conforme abaixo:

    $\begin{array}{l} a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}\\\\ \Longrightarrow\quad a=\dfrac{1-3}{2-(-1)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{1-3}{2+1}\\\\ \Longleftrightarrow\quad a=-\,\dfrac{2}{3}\qquad\checkmark\end{array}$

• O valor de $b$ pode ser obtido da lei da função $f,$ substituindo as coordenadas de um dos pontos conhecidos:

    $f(x)=ax+b\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=f(x)-ax$

Substituindo as coordenadas do ponto $A(-1,\,3),$ obtemos

    $\begin{array}{l}\Longrightarrow\quad b=f(-1)-\left(-\dfrac{2}{3}\right)\cdot (-1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=3-\dfrac{2}{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=\dfrac{9-2}{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=\dfrac{7}{3}\qquad\checkmark \end{array}$

Portanto, a lei da função $f$ é

    $\Longrightarrow\quad f(x)=-\,\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}\qquad\checkmark$

Obtemos o valor de $f(5)$ substituindo $x=5$ na lei da função:

    $\begin{array}{l}\Longrightarrow\quad f(5)=-\,\dfrac{2}{3}\cdot 5+\dfrac{7}{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(5)=-\,\dfrac{10}{3}+\dfrac{7}{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(5)=\dfrac{-10+7}{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(5)=\dfrac{-3}{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(5)=-1\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta:~alternativa~A).}\end{array}$

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Bons estudos!