Question

Em uma floresta com certa espécie de árvores, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas, são dadas respectivamente pelas funções :altura: H(t) = 1 + (0,8).log2(t + 1) -diâmetro do tronco: D(t) = (0,1).2 t/7 com H(t) e D(t) em metros e t em anos.
a)Qual a altura de uma árvore, passados 7 anos? Qual o diâmetro dessa árvore?
b) Qual a altura da árvore após 15 anos?

Answer 1

Resposta:

a) Após 7 anos, a árvore tem altura de 3,4 metros e diâmetro de 0,2 metros.

b) Após 15 anos, a árvore tem altura de 4,2 metros.

Explicação passo-a-passo:

a) Altura da árvore em metros, com t em anos:

$H(t)=1+0,8*log_2(t+1)$

Com t igual à 7 anos:

$H(t)=1+0,8*log_2(t+1)\\\\H=1+0,8*log_2(7+1)\\\\H=1+0,8*log_2(8)\\\\H=1+0,8*log_2(8)$

Sabendo que $2^3=8$, temos que:

$H=1+0,8*3\\\\H=1+2,4\\\\H=3,4 \ metros$

Com isso, sabemos que a altura da árvore após 7 anos é de 3,4 metros.

Agora, calculando o diâmetro após o mesmo período de tempo (t= 7):

$D(t)=0,1*2^{ \frac{t}{7} }\\\\D=0,1*2^{ \frac{7}{7} }\\\\D=0,1*2^{ 1 }\\\\D=0,1*2\\\\D=0,2 \ metros$

Portanto, após 7 anos, a árvore tem altura de 3,4 metros e diâmetro de 0,2 metros.

b) Altura da árvore em metros, com t em anos:

$H(t)=1+0,8*log_2(t+1)$

Com t igual à 15 anos:

$H=1+0,8*log_2(15+1)\\\\H=1+0,8*log_2(16)$

Sabendo que $2^4=16$,  temos que:

$H=1+0,8*4\\\\H=1+3,2\\\\H=4,2 \ metros$

Logo, após 15 anos, a árvore tem altura de 4,2 metros.

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Lembre-se sempre que $log_b(a)=x$ onde queremos encontrar $x$.

Para isso basta descobrir $x$ tal que $b^x=a$.

No exemplo acima tínhamos $log_2(8)=x$, por exemplo. Para encontrar a resposta fazemos $2^x=8$.

Decompondo 8:

$8=2^3$

Então, temos que $x=3$.

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Valeu!