Question

Em uma fila há menos de 100 pessoas.Quando as contamos de 7 em 7,sobra uma pessoa; quando as contamos de 6 em 6,sobram três; e quando as contamos de 5 em 5,sobram duas.Quantas pessoas há nessa fila???  

Answer 1

Daora essa questão.

Seja $N$ o número de pessoas na fila.

Quando contamos de sete em sete, sobra uma pessoa.

Isso significa que N é da forma $7k+1$, sendo k um natural.

Quando contamos de seis em seis, sombram três pessoas.

Logo, $N=6q+3$. Igualando,

$7k+1=6q+3$

$7k-6q=2$

Obtemos uma equação diofantina linear.

Uma solução particular é $(2,2)$. As soluções gerais são 

$k=2-6t$ e $q=2-7t$

Logo, $N=7(2-6t)+1=15-42t$.

Além disso, quando contamos de cinco em cinco sobram duas pessoas.

Assim, $N=5p+2$. Igualando:

$15-42t=5p+2$

$5p+42t=13$

Pelo Algoritmo do MDC de Euclides,

$42-5\times8=2$

$5-2\times2=1$

Assim, $5-(42-5\times8)\times2=1$, ou seja, $5-42\times2+5\times16=1$.

Com isso, $5\times17-42\times2=1$.

Multiplicando por 13,

$5\times221-42\times26=13$

Uma solução particular é $(221,-26)$.

As soluções gerais são

$p=221+42t$ e $t=-26-5t$.

Assim

$N=5(221+42t)+2=1107+210t$.

Como $N<100$, temos

$1107+210t<100$

$210t<-1007$

$t<-4$

Logo, $t=-5$ e $N=1107+210\cdo(-5)=1107-1050=57$.

57 pessoas.