Question

Em uma festa, havia 80 convidados. Se cada um cumprimentou todos os outros uma única vez, quantos cumprimentos foram dados nessa festa?

Answer 1

Resposta:

3081 cumprimentos

Explicação:

Tem que usar a soma de uma progressão aritmética (P.A.). Veja bem:

Se na festa tem 6 convidados A, B, C, D, E e F então A cumprimenta B, C, D, E e F totalizando 5 cumprimentos. Depois B cumprimenta C, D, E e F totalizando 4 cumprimentos. Depois C cumprimenta D, E e F totalizando 3 cumprimentos. Depois D cumprimenta E e F totalizando 2 cumprimentos. Por fim, E cumprimenta F totalizando 1 cumprimento. Logo o número total de cumprimentos será igual a 5+4+3+2+1 = 15.

Em relação ao nosso problema, temos 80 pessoas, então você tem que fazer a seguinte soma: 79 + 78 + 77 + 76 + ....+ 3 + 2 + 1 = ??

Obviamente você não vai fazer essa soma termo a termo, você usa a fórmula da soma da P.A. dado por:

$S_n = \frac{(a_1+a_n)\times n}{2}$

onde $a_1$ é o primeiro termo, $a_n$ o último termo e $n$ o número de termos, então, no exemplo de apenas 6 pessoas ficaria assim:

$S_5 = \frac{(1+5)\times5}{2} = \frac{6\times5}{2} = 3\times5 = 15$.

O mesmo vale para o caso de 80 pessoas o que nos dá o seguinte:

$S_{79} = \frac{(1+79)\times79}{2} = \frac{78\times79}{2} = 39\times79 = 3081$.

Portanto em uma festa de 80 convidados serão dados 3081 cumprimentos. Observe que tem que começar a contar de 79 e não de 80 pois você não cumprimenta à você mesmo, a não ser que você esteja sozinho na festa.