Em uma festa de aniversário infantil, havia uma grande bexiga recheada de guloseimas pendurada no teto do salão de festas. Ao ser anunciado que a bexiga seria estourada, as crianças presentes na festa se posicionaram abaixo da bexiga para resgatar as guloseimas. Sabe-se que a quantidade de guloseimas resgatadas por cinco dessas crianças, ao ordená-las, formava uma progressão geométrica crescente de forma que a soma entre as quantidades resgatadas pela terceira e pela quinta criança correspondia ao dobro da soma entre as quantidades resgatadas pela segunda e pela quarta. Nessas condições, a razão entre a quantidade de guloseimas resgatadas pela quarta criança e a pela terceira é
A. 1/4
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. 4
Soluções para a tarefa
Resposta:
b
Explicação passo-a-passo:
fiz no classrom juro a minha tava certa
Resposta:
A razão entre as guloseimas resgatadas é 2
Explicação passo a passo:
Vamos dizer que a1, a2, a3, a4 e, a5 é a quantidade de doces resgatados por cada criança. E vamos dizer que a1 foi a que menos pegou e a5 a que mais pegou.
A questão quer saber a razão entre a quarta e a terceira criança, ou seja,:
a4/a3
Nos é dito que a soma da terceira com a quinta é o dobro da soma da segunda com a quarta, ou seja:
a3 + a5 = 2*(a2+a4)
Reescrevendo os termos usando a fórmula do termo geral temos que:
a3 = a1*q²
a5 = a1*q^4
a2 = a1*q
a4 = a1*q³
Assim temos que:
a1*q² + a1*q^4 = 2*a1*q + 2*a1*q³
a1*q² + a1*q^4 - 2*a1*q - 2*a1*q³ = 0
Fatorando a1*q
a1*q * (q + q³ - 2 - 2q²) = 0
O produto é igual a zero se:
a1*q = 0 ou (q + q³ - 2 - 2q²) = 0
a1 = 0 ou q = 0 não servem,
Assim fatorando q e -2 (q + q³ - 2 - 2q²) = 0 temos:
q*(q+1) - 2*(q+1) = 0
Fatorando q+1:
(q+1) * (q-2) = 0
q+1 = 0 ou q-2 = 0
q = -1 ou q = 2
Como a PG é crescente q = -1 não serve.
Assim q = 2
Também reescrevendo a fração que queremos:
a4/q3 = a1*q³/a1*q² = q³/q² = q
Dessa forma a razão entre os doces resgatados é 2!