Question

em uma festa, cada convidado presente acenou, exatamente uma vez, para cada um dos outros convidados. Se ao todo, foram 702 acenos, quantos convidados havia na festa ?​

Answer 1

Havia 38 convidados na festa.

Explicação:

Ao escolhermos um par de pessoas, independentemente da ordem  escolhida, estamos contando um aceno de mão. Então, se considerarmos que  existem n pessoas na festa, o número de apertos de mão será Cn,p. Logo:

n = total de pessoas

p = acenos (2)

x = total de acenos

Faremos uma combinação simples:

$C_{n}^{p} = x\\C_{n}^{2} = 703$

Aplicando a fórmula, temos:

     n!     = 703

p!.(n - 2)!

n.(n - 1).(n - 2)! = 703

  2!.(n - 2)!

n.(n - 1) = 703

  2.1

n(n - 1) = 2 . 703

n² - n = 1406

n² - n - 1406 = 0

[a = 1, b = - 1, c = - 1406]

Agora, vamos resolver a equação do 2° grau.

Δ = b² - 4ac

Δ = (-1)² - 4.1.(-1406)

Δ = 1 + 5624

Δ = 5625

n = - b ± Δ

        2a

n = - (-1) ± √5625

            2.1

n = 1 ± 75

        2

n' = 76 = 38

       2

n'' = - 74 = - 34

         2

Como o número de pessoas deve ser um número natural, ficamos com o valor positivo. Ou seja, n = 38.