Question

Em uma fazenda há uma região retangular para plantio de hortaliças, dispõe-se de uma região retangular de 18 m de comprimento por 14 m de largura para construir o canteiro. Ele deve ter a forma de uma elipse e estar inscrito nessa região retangular. Responda:

a) Suponha que se deseja colocar um sistema de irrigação com duas saidas de água, exatamente nos pontos correspondentes aos focos da elipse. Qual será a diståncia entre as saidas de água?

b) Tomando como referência o centro do terreno na origem de um sistema cartesiano 0(0, 0), qual é a equação correspondente à elipse formada para o canteiro?

c) Suponha que não foi possivel fazer uma ligação direta da água até os pontos de saida (focos da elipse). Mas, em um ponto sobre a elipse há uma torneira em funcionamento. Qual será a quantidade necessárla de mangueira para que levar água dessa torneira até cada um dos pontos de saida? (suponha que na torneira seja possivel fazer a ligação das duas mangueiras, separadamente.)​

Answer 1

Resposta:

As soluções são:

a) A distância entre as saídas de água é 8√2 m.

b) A equação reduzida que representa este canteiro em forma de elipse é

$\dfrac{x^2}{9^2}+\dfrac{y^2}{7^2}=1\\\\\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{49}=1$

c) O comprimento da mangueira vale 18 m.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos aplicar os conceitos de geometria analítica relacionados a elipse.

A equação reduzida da elipse fornece as seguintes informações:

$\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$

• Centro: $C=(x_0, y_0)$
• Eixo Maior: $2a$
• Eixo Menor: $2b$
• Distância Focal: $2c$
• Excentricidade: $e=\dfrac{c}{a}$
• $a^2=b^2+c^2$

Dessa forma como a elipse deve estar inscrita no retângulo temos:

Eixo Maior:

$2a = 18\\\\a = 9$

Eixo Menor:

$2b = 14\\\\b = 7$

Distância Focal:

$9^2=7^2+c^2\\\\c=4\sqrt{2}\\\\2c=8\sqrt{2}$

a) Suponha que se deseja colocar um sistema de irrigação com duas saídas de água, exatamente nos pontos correspondentes aos focos da elipse. Qual será a distância entre as saídas de água?

A distância pedida é a distância focal, logo vale $8\sqrt{2}$.

b) Tomando como referência o centro do terreno na origem de um sistema cartesiano 0(0, 0), qual é a equação correspondente à elipse formada para o canteiro?

Utilizando os dados do enunciado temos a seguinte equação:

$\dfrac{x^2}{9^2}+\dfrac{y^2}{7^2}=1\\\\\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{49}=1$

c) Suponha que não foi possível fazer uma ligação direta da água até os pontos de saída (focos da elipse). Mas, em um ponto sobre a elipse há uma torneira em funcionamento. Qual será a quantidade necessária de mangueira para que levar água dessa torneira até cada um dos pontos de saída? (suponha que na torneira seja possível fazer a ligação das duas mangueiras, separadamente.)​

Neste caso temos exatamente a definição de lugar geométrico da elipse.

$d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a$

"A soma das distâncias de um ponto P qualquer do plano até dois pontos dados (chamados focos) F₁ e F₂ é constante e igual a 2a."

Assim, o comprimento da mangueira será exatamente o comprimento do eixo maior da elipse, ou seja, 2a = 18 m.