Question

Em uma fábrica, o custo, para se produzir camisetas se dá em função da quantidade produzida, pela lei f(X)= -x²+mx+200. Qual deve ser o valor de m para que haja uma única quantidade possível de camisetas que gere um custo de R$300,00?

Answer 1

-x²+mx+200=300
-x²+mx+200-300=0
-x²+mx-100=0
a=-1
b=m
c=-100
Δ=m²-4.(-1),(-100)
Δ=m²-400
m²=400
m=√400
m=20   m=20

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Amanda, que a resolução é simples.
Tem-se que o custo para produzir camiseta dá-se pela pela quantidade "x" produzida, definida pela função abaixo:

f(x) = - x² + mx + 200.

Dadas essas informações, pede-se o valor de "m" para que haja uma única quantidade possível de camisetas que gere um custo total de R$ 300,00.
Veja: para isso, deveremos, em primeiro lugar, igualar f(x) a 300 e depois resolver a expressão e encontrando o valor de "m" para que haja um único valor para "x", ou seja, para que a função tenha uma raiz dupla (ou um único valor: x' = x'').
Então, fazendo isso, teremos:

300 = - x² + mx + 200 ----- vamos pôr "300" para o 2º membro, ficando:
0 = - x² + mx + 200 - 300 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = - x² + mx - 100 ---- vamos apenas inverter, ficando:
- x² + mx - 100 = 0

Agora veja: está sendo pedido que "x" tenha um único valor. Isto significa que a questão pede o valor de "m" para que a equação dada acima tenha uma única raiz (ou seja tenha uma raiz dupla, que significa ter duas raízes reais mas ambas iguais: x' = x''). Para que isso ocorra, o delta (Δ) da equação dada terá que ser igual a zero. Note que:

Δ = b² - 4ac ---- veja que os coeficientes da função dada são estes:

a = - 1 --- (é o coeficiente de x²)
b = m ---- (é o coeficiente de x)
c = -100 --- (é o coeficiente do termo independente).
Assim, vamos impor que o Δ (b² - 4ac) seja igual a zero. Então faremos isto:

b² - 4ac = 0 ------ fazendo-se as devidas substituições, teremos;
m² - 4*(-1)*(-100) = 0
m² - 400 = 0 ---- passando "-400" para o 2º membro, teremos:
m² = 400
m =  ± √(400) --------- como √(400) = 20, teremos:
m = ± 20 ---- note que "m" poderia, numa primeira hipótese, ser igual a "-20" ou "20". Contudo, se m = - 20 iríamos ter uma única raiz dupla negativa. E considerando que a quantidade não pode ser negativa, então somos obrigados a admitir apenas m = 20 (positivo). Só assim a única raiz será positiva. Logo "m" deverá ser apenas igual a 20, ou seja:

m = 20 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este deverá ser o valor de "m" para que se tenha uma única quantidade "x" de camisetas que gere um custo de R$ 300,00.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja como é verdade que  se "m" for igual a "20", teremos uma única raiz positiva (ou uma raiz dupla, o que é a mesma coisa: x' = x''). Veja:

-x² + 20x - 100 = 0 --- se você aplicar Bháskara encontrará que as raízes serão estas: x' = x'' = 10. Ou seja, para m = 20 teremos que a fábrica produzindo 10 camisetas terá um custo de R$ 300,00.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.