Question

em uma fabrica de autopeças, o custo em reais, para se produzir uma n unidades de determinada peça é para um automovel é dado pela função C= n2 -200n + 30000
A) quantas peças essa fabrica devera produzir para se obter custo minimo e qual é o valor do custo minimo?
preciso disso pra agora... dou 25pts

Answer 1

Boa tarde

C(n) = n² - 200n + 30000

a = 1
b = -200
c = 30000

vértice

Vx = -b/2a = 200/2 = 100 peças
Vy = C(100) = 10000 - 200*100 + 30000
Vy = 20000 custo minimo 

Answer 2

Olá!
 
     Uma outra forma de resolver é encontrando os pontos críticos (onde a derivada da função se anula) e verificando em qual deles a função assume menor valor. Veja:


$C(n)=n^2-200n+30000\Rightarrow \dfrac{d}{dn}C(n)=2n-200.\\ \\ \text{Ent\~ao, }\\ \\ \dfrac{d}{dn}C(n)=0\Leftrightarrow 2n-200=0\Leftrightarrow n=100.$
  
    Note que só foi obtido 1 ponto crítico (n = 100). Logo, se houver ponto de mínimo, deverá ser exatamente ele. Para confirmar que trata-se de um ponto de mínimo, use o teste da segunda derivada. Se ela for positiva neste ponto, então ele será de mínimo. Assim:


$\dfrac{d}{dn}C(n)=2n-200\Rightarrow \dfrac{d^2}{dn^2}C(n)=2,\;\forall n.$

Ou seja, a derivada segunda é positiva (vale 2) independente do valor de n. Logo, o ponto encontrado é de mínimo. E temos

$C(n)=n^2-200n+30000\Rightarrow C(100)=100^2-200\cdot 100+30000\Rightarrow \\ \\ C(100)=10000-20000+30000=20000.$


    Portanto, a fábrica deverá produzir 100 peças para se obter custo mínimo, e tal custo é de R$ 20.000,00.



Bons estudos!