Question

Em uma escola com 512 alunos apareceu com o vírus do sarampo se esse aluno permanecesse na escola o vírus se propagaria da seguinte forma num primeiro dia um aluno estaria contaminado num segundo dois estaria contaminados no terceiro 4 e assim sucessivamente a diretora dispensou o aluno contaminado imediatamente após concluir que todos os 512 alunos teriam Sarampo no:

a) 9°dia
b) 10°dia
c) 8°dia
d) 5°dia
e) 6°dia

2) se em uma progressão geométrica o segundo termo foi igual a 1 e o quinto termo é igual a 11 então o décimo termo será igual a:

3) encontre a soma das 20 primeiras Multiplos naturais pares de 5:

4) podemos afirmar que a área da figura abaixo é igual a:
​

Answer 1

Resposta:

1 )  b) 10º dia

$2)....A_{10} =11^2*\sqrt[3]{11^2}=121\sqrt[3]{121}$

3) 2 100

4 ) 2 250 cm²   logo c)

Explicação passo a passo:

1 )

Temos aqui se escrever a sequência de valor de contaminados para cada dia

1ª dia  →  1

2º dia  → 2

3º dia →  4

e assim por diante

Em primeiro lugar saber que tipo de Progressão é.

Há dois tipos : Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.

Será Progressão Aritmética?

Peguemos no segundo termo que é 2 e vamos subtrair ao primeiro termo

que é 1

2 - 1 = 1

Peguemos no terceiro termo que é 4 e vamos subtrair ao segundo termo

que é 2

4 - 2 = 2

2 ≠ 1

Não é progressão aritmética. Se assim fosse o resultado destas duas

subtrações seria idêntico.

Será Progressão Geométrica?

Peguemos no segundo termo , que é 2 , e vamos dividir pelo primeiro

termo que é 1

$\dfrac{2}{1} =2$

Peguemos no terceiro termo , que é 4 , e vamos dividir pelo segundo termo

que é 2

$\dfrac{4}{2} =2$

São iguais estes resultados.

É uma Progressão Geométrica ( PG ) de razão 2

À razão chamamos "q"

Existe uma fórmula para calcular o Termo Geral que nos ajuda em outros cálculos

$A_{n} =a_{1} *q^{n-1}$

$A_{n} =Termo ...Geral$

$a_{1} = primeiro...termo$

q = razão

Cálculo do termo Geral $A_{n}$

$A_{n} =1 *2^{n-1} =2^{n-1}$

$A_{n} =2^{n-1}$

Sabemos o termo com o valor 512, vamos descobrir qual a ordem em que ele está.

$512 = 1 * 2^{n-1}$

$512 = 2^{n-1}$

Temos uma Equação Exponencial ( a variável está em expoente)

Para a resolver vamos decompor 512 em fatores primos

512 | 2                            $512=2^9$  e vamos substituir este valor na equação    

256 | 2

128  | 2

 64 | 2

 32 | 2

  16 | 2

   8 | 2

   4 | 2

   2 | 2

   1        

$2^9 = 2^{n-1}$

Observação 1 → Resolução de Equações Exponenciais

A que temos aqui é do tipo mais simples de resolução.

Temos em ambos os membros potências com a mesma base 2.

Para que as potências sejam iguais os expoentes têm que ser iguais, entre

si.

$2^9 = 2^{n-1}$

n - 1 = 9

n = 9 + 1

n = 10       logo b) 10º dia

Ao décimo dia atingiu-se 512 contaminados

2)

Dados:

PG

$a_{2} = 1$

$a_{5} = 11$  

Pedido:

$a_{10} = ?$

Peguemos na fórmula do Termo Geral e vamos calcular a razão " q "

$A_{n} =a_{1} *q^{n-1}$

Adaptamos ao que temos

$A_{5} =a_{2} *q^{5-2}$

$11 =1 *q^{5-2}$

$11 =q^{3}$

Extrair a raiz cúbica em ambos os membros

$\sqrt[3]{11} =\sqrt[3]{q^3}$

$\sqrt[3]{11} =q$

Cálculo do 10º termo

$A_{n} =a_{1} *q^{n-1}$

$A_{10} =a_{2} *(\sqrt[3]{11}) ^{10-2}$

$A_{10} =1*(\sqrt[3]{11}) ^{8}$

$A_{10} =\sqrt[3]{11^8}$

$A_{10} =\sqrt[3]{11^3*11^3*11^2}=\sqrt[3]{11^3} **\sqrt[3]{11^3}*\sqrt[3]{11^2}=11*11*\sqrt[3]{11^2}=11^2\sqrt[3]{11^2}$

$A_{10} =11^2*\sqrt[3]{11^2}$

ou escrever como:

$A_{10} =121*\sqrt[3]{121}$

3) O enunciado está estranho.

" Encontre a soma das 20 primeiras Múltiplos naturais pares de 5

primeiras é feminino

Múltiplos é masculino

Falta algo no enunciado?

Vou fazer de acordo com uma interpretação.

" Encontre a soma dos primeiros números naturais pares, múltiplos de 5. "

Observação 2 → Múltiplos de 5

São todos os números na tabuada do 5.

5 * 1 = 5  ímpar , não serve

5 * 2 = 10  par , serve

5 * 3 = 15  ímpar , não serve

5 * 4 = 20  par , serve

5 * 5  = 25  ímpar , não serve

5 * 6 = 30   par , serve

Temos a progressão

10 ; 20 ; 30 : etc

Repare que

20 - 10 = 10     2º termo - 1º termo

30 - 20 = 10    3º termo - 2º termo

Isto quer dizer que temos uma Progressão Aritmética (PA) , com

1º termo = 10  e a razão ( q ) = 10

Usando a fórmula que dá a Soma de "n" termos consecutivos  nas PA

$S_{n} =\dfrac{n*(a_{1}+a_{n} ) }{2}$

n = número de termos consecutivos

$a_{1}$ = primeiro termo

$a_{n}$ = último termo consecutivo

10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60 ; 70 ; 80 ; 90 ; 100

110 ; 120 : 130 ; 140 ; 150 ; 160 ; 170 ; 180 ; 190 ; 200

$a_{1}$  = 10

$a_{20}$ = 200

$S_{20} =\dfrac{20*(10+200) }{2}$  

Simplificando 20 / 2 = 10

$S_{20} =10*210 =2100$

4)

Decompor a figura em duas

Em cima um triângulo.

Em baixo um retângulo.

Esboço do triângulo CDE

                                        E

                                          º                                      

                                 º        |     º                    

                      º                   |       º                  

               ºººººººººººººººººº|ººººººº

             C                           F           D

[ CD ] = base =  50 cm

[ EF ] = altura  =  60 - 30 = 30 cm

Área de qualquer triângulo = ( base * altura) / 2

Área deste triângulo = ( 50 * 30 ) / 2 = 750 cm²

Esboço do retângulo RSDC

                          C                                  D

                          ººººººººººººººººººººººººº

                          º                                    º

                          º                                    º

                          ººººººººººººººººººººººººº

                         R                                     S

[ RS ] = comprimento =  50 cm

[ CR ] = largura = 30 cm

Área de qualquer retângulo = comprimento * largura

Área deste retângulo = 50 * 30 = 1 500 cm²

Área total da figura = 750 + 1500 = 2 250 cm²   logo c)

Bons estudos.

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( * ) multiplicação   ( / ) Divisão