Question

Em uma cooperativa de agricultores no interior do estado, tem-se que 30 dos cooperativados produzem feijáo, 25 dos
cooperativados produzem soja e 27 produzem arroz. Destes cooperativados que produzem feijão soja ou arroz é sabido
que apenas 3 cooperativados produzem todos os 3: feijão, soja e arroz. E que 17 destes que produzem feijão, soja ou arroz,
tem apenas 1 tipo de cultivo.
Quantos destes que produzem feijão soja ou arroz produzem menos dois destes tipos (feijão soja ou
arroz)?
dica: Utilize o Principio da Inclusão-Exclusão para 3 conjuntos.

Answer 1

Resposta:

O número de produtores que cultivam pelo menos dois dos produtos é igual a 31.

Explicação passo a passo:

Sejam os conjuntos:

F - Produtores de feijão

S - Produtores de soja

A - Produtores de arroz

Com base no enunciado temos os seguintes dados:

n(F) = 30; n(S) = 25; n(A) = 27; n(F∩S∩A) = 3; n(F∩S) = x+3; n(F∩A) = y+3; n(S∩A) = z+3 e n(F∪S∪A) = x + y + z + 20

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão temos:

n(F∪S∪A) = n(F) + n(S) + n(A) - n(F∩S) - n(F∩A) - n(S∩A) + n(F∩S∩A)

Substituindo os dados do problema:

x + y + z + 20 = 30 + 25 + 27 - x - 3 - y - 3 - z - 3 + 3

2(x + y + z) = 56

x + y + z = 28

Como o número de produtores de pelo menos dois produtos é dado por x + y + z + 3 obtemos o seguinte resultado 28 + 3 = 31.