Question

Em uma competição de ciclismo a pista circular foi projetada sobre a circunferência de equação $x^{2}+ y^{2} +20x+40y-2000=0$. Um competidor dá cinco voltas completas em 2 minutos. Sabendo que o comprimento de uma circunferência é C=2πR,qual é a distância aproximada percorrida pelo competidor nesse tempo?
a) 314 u.c.
b) 628 u.c
c) 1570 u.c.
d) 3140 u.c.
e) 6280 u.c.

Answer 1

Vamos lá.

Até que enfim, Fernando. Eis uma questão cuja resposta poderá ser colocada sem nenhum problema .

Pede-se a distância percorrida pelo ciclista, que deu 5 voltas completas numa pista de circular, cuja equação é esta:

x² + y² + 20x + 40y - 2.000 = 0 --- vamos ordenar para podermos formar os quadrados:

x² + 20x + y² + 40y - 2.000 = 0 ---- Agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles valores que serão acrescidos por força da formação dos quadrados. Assim, fazendo isso, teremos;

(x+10)² - 100 + (y+20)² - 400 - 2.000 = 0 ---- vamos ordenar, ficando:
(x+10)² + (y+20)² - 100 - 400 - 2.000 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos:

(x+10)² + (y+20)² - 2.500 = 0
(x+10)² + (y+20)² = 2.500 ---- veja que 2.500 é a mesma coisa que: 50². Assim:

(x+10)² + (y+20)² = 50²      . (I)

Agora note que a equação reduzida de uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r , é encontrada da seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²      . (II)

Da comparação das expressões (I) e (II), você já deverá ter concluído que a pista circular da sua questão tem centro em C(-10; -20) e raio = 50 u.c.

Finalmente, vamos pra distância percorrida pelo ciclista, sabendo que o comprimento de uma circunferência é dada por:

C = 2π*r , em que "C" é o comprimento, "π" = "3,14" e "r" é o raio.
 
Assim, como a pista circular da sua questão tem raio = 50 u.c. então vamos ver qual será o comprimento dessa pista:

C = 2*3,14*50
C = 6,28*50
C = 314 u.c. <--- Este  é o comprimento da circunferência da sua questão.

Agora vamos à distância percorrida pelo ciclista, que deu 5 voltas nessa pista. Assim:

5*314 = 1.570 u.c. <---- Esta é a resposta. Opção "c". Esta é a distância percorrida pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.