Question

Em uma circunferência uma corda AB é perpendicular à um diâmetro CD sobre o qual determina dois seguimentos que medem 2 cm e 8 cm respectivamente calcule a medida da corda AB

Answer 1

Tiago,

Inicialmente, vamos chamar ao ponto de encontro de AB com CD de P e definir que AP = 2 cm e PD = 8 cm.

Se CD é o diâmetro da circunferência, os pontos A e B determinam 2 triângulos quando unidos a C e D:

ACD e BCD

Estes dois triângulos são retângulos, pois os pontos A e B pertencem à circunferência, que é o arco capaz de 90º sobre o diâmetro (isto quer dizer que, qualquer que seja a posição do ponto A sobre a semi-circunferência, o ângulo ACD será sempre igual a 90º). O mesmo vale para o ponto B e o ângulo CBD.

Se estes dois triângulos são retângulos, e P é o ponto de encontro de AB com CD, temos:

No triângulo ACD:

AC é cateto
AD é cateto
CD é hipotenusa
AP é a altura do triângulo
CP é projeção do cateto AC sobre a hipotenusa
PD é projeção do cateto AD sobre a hipotenusa

No triângulo BCD:

BC é cateto
BD é cateto
CD é hipotenusa
BP é altura do triângulo
CP é projeção do cateto BC sobre a hipotenusa
PD é projeção do cateto BD sobre a hipotenusa

Mais uma conclusão:

Como CD é diâmetro da circunferência, ele é também eixo de simetria e, assim, os triângulos ACD e BCD são congruentes (seus lados são iguais).

Vamos agora à solução da questão:

Em um triângulo retângulo, a altura é a média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Então, temos:

AP² = CP × PD

AP² = 2 × 8

AP = √16

AP = 4 cm

Como os triângulos são simétricos (e congruentes), AP = BP e, então:

AP = BP = 4 cm

Assim:

AB = AP + PB

AB = 4 cm + 4 cm

AB = 8 cm

R.: A corda AB mede 8 cm.