Question

Em uma cidade foi instalado um parque eólico. O vento no
local é dado por meio da função v(t) = -0,1t2 + 2,4 – 0,4,
com vem m/s, na qual o instante t=0, em horas, corresponde
à meia-noite.
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Por causa das especificações das turbinas e da rede elétrica,
só ha geração de energia quando as pás giram a uma veloci-
dade mínima de 4 m/s e máxima de 11,5 m/s. Sendo assim,
a energia é gerada diariamente durante quantas horas?



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Answer 1

A velocidade das turbinas da rede elétrica do parque eólico deve ser maior que 4 m/s e menor que 11,5 m/s para que as pás gerem energia elétrica. Desta forma temos que calcular durante quais horas isso ocorre.

v(t) = – 0,1t² + 2,4 – 0,4

Queremos achar o tempo de forma que:

4 < – 0,1t² + 2,4t – 0,4 < 11,5

Vamos resolver por partes.

• 4 < – 0,1t² + 2,4t – 0,4 → – 0,1t² + 2,4t – 0,4 > 4

Logo:

– 0,1t² + 2,4t – 0,4 – 4 > 0

– 0,1t² + 2,4t – 4,4 > 0

Resolvendo a inequação, queremos os valores de t positivos.

Δ = (2,4)² – 4.(–0,1)(–4,4)

Δ = 4

√4 = 2

$x_1 = \dfrac{-2,4+2}{2.(-0,1)} = \dfrac{0,4}{0,2} = 2\\\\x_2 = \dfrac{-2,4-2}{2.(-0,1)} = \dfrac{4,4}{0,2} = 22$

Ou seja, entre 2 horas da manhã e 22 horas, a turbina teoricamente funciona.

• – 0,1t² + 2,4t – 0,4 < 11,5

Logo:

– 0,1t² + 2,4t – 11,9 < 0

Δ =  (2,4)² – 4.(–0,1)(–11,9)

Δ = 1

√1 = 1

$x_1 = \dfrac{-2,4+1}{2.(-0,1)} = \dfrac{1,4}{0,2} = 7\\\\x_2 = \dfrac{-2,4-1}{2.(-0,1)} = \dfrac{3,4}{0,2} = 17$

Ou seja, entre 7 horas da manhã e 17 horas, a turbina teoricamente funciona.

O intervalo que ela funciona é a intersecção dos dois que encontramos, ou seja, a turbina funciona entre 7h e 17h já que este espaço de tempo está incluído tanto na resposta da primeira inequação quanto da segunda.

A energia é gerada durante 17h - 7h = 10 horas ao dia.

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