Question

Em uma calcul


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ENSINO MÉDIO (SECUNDÁRIO) MATEMÁTICA 5 pontos


Em uma calculadora cientifica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log,aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor.Se a operação
não for possível , aparece no visor ERRO.depois de digitar 42 bilhões , o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que , no visor, apareça a palavra ERRO pela primeira vez é? Com cálculo

Answer 1

Já sabemos que o logaritmo decimal de um número positivo N é indicado por logN, que representa o logaritmo de N na base 10. 
Já sabemos que se log N > 0 então N > 1e que se log N < 0 então 0 < N < 1.
Se necessario, revise logaritmos.

Seja Ai o número que aparece no visor da calculadora no i-ésimo toque na tecla LOG, ou seja, no toque de ordem i da tecla LOG. Por exemplo, no primeiro toque, A1, no segundo toque, A2, no terceiro toque, A3 e assim sucessivamente. 
Vamos considerar que o número introduzido na calculadora para o cálculo do log seja
A0 = 48 bilhões = 48 000 000 000 = 4,8.1010.

Teremos então:

A0 = 48 000 000 000 = 4,8.1010

A1 = log A0 = log (4,8.1010) = log4,8 + log1010 = 10 + log4,8
Então:
A2 = log A1 = log (10 + log4,8)

Ora, como 100 < 4,8 < 101, podemos concluir que log 4,8 será uma número entre 0 e 1 e, portanto, da forma 0,m(um número decimal entre 0 e 1).

Então, A1 = 10 + log4,8 = 10 + 0,m = 10,m, que é um número entre
10 = 101 e 100 = 102.

Nestas condições, teremos:
A2 = log A1 = log (10,m) 
Como 101 < 10,m < 102 , podemos concluir que l < log(10,m) < 2, ou seja, 
log (10,m) será um número entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um número decimal entre 1 e 2), ou seja 
log A2 = 1,n.

Portanto,
A3 = log A2= log (1,n)

Como 1,n é um número decimal entre 1 = 100 e 10 = 101, podemos afirmar que 
log (1,n) será um número decimal entre 0 e 1, ou seja, da forma 0,p .

Portanto, A3 = 0,p

A4 = log A3 = log (0,p)

Ora, como 0,p é um número decimal entre 0 e 1 ou seja 0 < 0,p < 1, já sabemos que o resultado será um número negativo pois o logaritmo decimal de N, para N entre 0 e 1 é negativo. Portanto, A4 é menor do que zero, ou seja, um número negativo.
Logo, A5 = log A4 e como A4 é negativo (menor do que zero) e já sabemos que não existe logaritmo decimal de número negativo, a calculadora vai apresentar mensagem de ERRO. Portanto, na quinta vez - o que corresponde a A5 - ao teclar LOG vai dar ERRO no visor da calculadora, o que nos leva tranquilamente a dizer que a resposta são 5 vezes .