Question

Em uma caixa existem 30 lâmpadas; 6 quebradas parcialmente e 4 quebradas totalmente. Duas lâmpadas são escolhidas ao acaso. Calcule a probabilidade de que ao menos uma lâmpada seja totalmente boa. *

Answer 1

Resposta:  26/29 ou aproximadamente 89,7%.

Explicação passo a passo:

Na caixa há

20 lâmpadas boas e 6 + 4 = 10 lâmpadas ruins (quebradas parcialmente ou totalmente).

Elementos do espaço amostral Ω: A quantidade total de formas que podemos escolher 2 lâmpadas quaisquer dentre as 30 disponíveis é C(30, 2). Essa é a quantidade de elementos do espaço amostral.

Evento A: ambas as lâmpadas escolhidas são ruins.

A quantidade de formas que podemos escolher 2 lâmpadas que sejam ambas ruins é C(10, 2). Essa é a quantidade de elementos de A.

Logo, a probabilidade de que escolhamos duas lâmpadas ruins é

         $\mathsf{p(A)=\dfrac{\#(A)}{\#(\Omega)}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad p(A)=\dfrac{C(10,\,2)}{C(30,\,2)}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad p(A)=\dfrac{~~\frac{10\cdot 9}{2\cdot 1}~~}{\frac{30\cdot 29}{2\cdot 1}}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad p(A)=\dfrac{10\cdot 9}{30\cdot 29}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad p(A)=\dfrac{3}{29}}$

A questão pede a probabilidade de que ao menos uma lâmpada seja totalmente boa, isto é, nem parcialmente nem totalmente quebrada. Esse é o caso complementar. Logo, a probabilidade pedida é

         $\mathsf{p(\overline{A})=1-p(A)}\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad p(\overline{A})=1-\dfrac{3}{29}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad p(\overline{A})=\dfrac{29-3}{29}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad p(\overline{A})=\dfrac{26}{29}\approx 89,\!7\%\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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