Em uma arquibancada há 12 pessoas senta-
das, sendo que na fileira de trás estão 5 ho-
mens e uma mulher. Na fileira da frente estão
4 homens e duas mulheres. Entre as pessoas
deste grupo, duas, da fileira da frente, usam
oculos, e dois homens da fileira de trás, tam-
bém. Pensando apenas nas pessoas da fileira
de trás, de quantas maneiras elas podem tro-
car as posições entre si:
a)
sem qualquer restrição?
b)
de modo que as duas pessoas de óculos
fiquem sempre separadas?
C)de modo que a mulher esteja sempre
entre os dois homens que usam óculos?
Soluções para a tarefa
Na fileira de tras se encontram 6 pessoas. 5 homens e 1 mulher.
dentre os 5 homens, 2 deles usam oculos.
a) Existem 720 diferentes maneiras possiveis de se assentar em no bancos se organizarem.
Imagine 6 cadeiras enfileiradas.
A primeira pessoa a se sentar pode escolher uma dentre 6 cadeiras.
A segunda pessoa a se sentar pode escolher qualquer cadeira vazia, ou seja, uma entre 5 cadeiras.
a terceira pessoa so poderá escolher uma entre 4
isso segue ate a última pessoa que só tem uma cadeira pra sentar.
b) existem 288 possibilidades distintas com a restrição dada
Suponha que a primeira pessoa a se sentar seja a de oculos e que ela escolha a cadeira 1.
entao temos 2 possibilidades para a cadeira 1.
Agora, outra pessoa de óculos irá sentar. ela so pode escolher as cadeiras 3, 4, ou 5 (cadeira 2 e adjascente a cadeira 1).
temos 3 possibilidades
O total de possibilidades até entao é 3*2=6
Sobram 4 pessoas para sentarem nas 4 cadeiras restantes.
teremos 4!=4*3*2*1=24 possibilidades.
Mas as outras 6 possibilidades achadas antes são independentes.
Então 6*(4!)=6*24=144 possibilidades
Suponha agora que um dos homens de óculos sente na cadeira 2.
O outro não poderá sentar nem na cadeira 1 e nem na 3.
Entao ele só tem 2 possibilidades (cadeira 4 ou cadeira 5)
2*2=4
Os outros continuam tendo 4! Possibilidades
4!*4=24*4=96 possibilidades.
Suponha agora que um dos homens de óculos sente na cadeira 3.
O outro não poderá sentar nem na cadeira 4 e nem na 2. (e sentar na cadeira 1 já foi contado no primeiro caso, então também excluiremos para não repetir)
Entao ele só tem 1 possibilidades que é a cadeira 5.
Teremos então 2*1=2
E os demais, novamente, 4!=24
2*24=48
O total de possibilidades será
144+96+48=288 possibilidades distintas!
C) Existem 36 possibilidades de se sentar a mulher entre os dois homens de óculos.
Suponha novamente que um dos homens que usa óculos sente na cadeira 1.
O outro homem sentará "obrigatoriamente" na cadeira 3 e a mulher na cadeira 2.
Portanto existem apenas 2 possibilidades (qual homem de óculos senta na cadeira 1).
As demais 3 pessoas podem se organizar de 3! =6 maneiras distintas.
2*6=12 possibilidades.
Se ao invés de se sentar na cadeira 1, o primeiro de óculos se sentasse na cadeira 2, teríamos as cadeiras 2, 3 e 4 ocupadas e teríamos a mesma quantidade de possibilidades, ou seja, 12 possibilidades.
Por fim, se o primeiro se sentasse na cadeira 3, teríamos 3, 4 e 5 e, novamente, 12 possibilidades.
12+12+12=12*3=36 possibilidades distintas