em uma apresentação na escola, oito amigos, entre eles carlos, timóteo e joana, formam uma fila. calcule o número de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada de modo que carlos, timóteo e joana fiquem sempre juntos:
Soluções para a tarefa
Resposta:
A resposta é 6! 3! = 4320
Explicação:
Temos 8 amigos em uma fila, mas a questão quer que 3 desses amigos fiquem juntos, então 8 - 3 = 5, cinco é a quantidade de amigos que vão ficar fora dessa restrição. Para que eles fiquem juntos vamos formar o seguinte bloquinho:
[Carlos, Timóteo, Joana] x A x B x C x D x E
Você concorda comigo que dentro desse bloquinho de 3 indivíduos existem 3! chances para que a ordem seja alterada? Poderia ser [Timóteo, Joana, Carlos] ou até [Joana, Timóteo, Carlos], então temos que considerar essa informação.
O bloquinho conta como apenas uma "letra", você pode chamá-lo de N, então N x A x B x C x D x E é a mesma coisa que 6!
Ao juntarmos essas duas informações, temos que o número de formas diferentes para que essa fila seja formada é 6! 3! = 4320.
Espero que tenha entendido, utilizei conceitos básicos de análise combinatória, se precisar de mais esclarecimentos é só falar.
O número de diferentes formas que é possível ordenar as crianças nessa fila é de 6! x 3!. Portanto, a alternativa correta é a letra c).
Para resolvermos esse exercício, temos que aprender o que é a permutação. Em análise combinatória, a permutação é utilizada quando desejamos descobrir de quantas formas podemos ordenar um grupo finito de n elementos, e é obtida através da expressão P = n! (isto é, através da operação do fatorial).
Com isso, para o caso da apresentação, temos que existem 8 crianças no grupo, e que Carlos, Timóteo e Joana devem ficar em posições consecutivas nessa fila.
Assim, para descobrirmos de quantas formas podemos ordenar as crianças, devemos utilizar duas vezes a operação da permutação.
Tomando o conjunto das três crianças (Timóteo, Carlos e Joana) como sendo um elemento da fila, e juntando com as outras 5 crianças restantes, temos que o número de combinações que podem ser formadas na fila é de (5 + 1)! = 6!.
Entretanto, dentro do grupo das 3 crianças, é possível que elas apareçam em diversas posições (por exemplo, Carlos → Joana → Timóteo, ou Joana → Carlos → Timóteo). Assim, temos que o número de possibilidades de ordenação é obtido através da permutação dessas três crianças, que possui o valor de 3!.
Com isso, multiplicando os dois resultados (pois são eventos independentes), temos que o número de diferentes formas que é possível ordenar as crianças nessa fila é de 6! x 3!. Portanto, a alternativa correta é a letra c).
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