Em uma apresentação na escola, oito amigos, entre Carlos, Timóteo e Joana, formam uma fila. Calcule o número de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada de modo que Carlos, Timóteo e Joana fiquem sempre juntos:
Soluções para a tarefa
Resposta:
O número de diferentes formas que é possível ordenar as crianças nessa fila é de 6! x 3!. Portanto, a alternativa correta é a letra c).
Para resolvermos esse exercício, temos que aprender o que é a permutação. Em análise combinatória, a permutação é utilizada quando desejamos descobrir de quantas formas podemos ordenar um grupo finito de n elementos, e é obtida através da expressão P = n! (isto é, através da operação do fatorial).
Com isso, para o caso da apresentação, temos que existem 8 crianças no grupo, e que Carlos, Timóteo e Joana devem ficar em posições consecutivas nessa fila.
Assim, para descobrirmos de quantas formas podemos ordenar as crianças, devemos utilizar duas vezes a operação da permutação.
Tomando o conjunto das três crianças (Timóteo, Carlos e Joana) como sendo um elemento da fila, e juntando com as outras 5 crianças restantes, temos que o número de combinações que podem ser formadas na fila é de (5 + 1)! = 6!.
Entretanto, dentro do grupo das 3 crianças, é possível que elas apareçam em diversas posições (por exemplo, Carlos → Joana → Timóteo, ou Joana → Carlos → Timóteo). Assim, temos que o número de possibilidades de ordenação é obtido através da permutação dessas três crianças, que possui o valor de 3!.
Com isso, multiplicando os dois resultados (pois são eventos independentes), temos que o número de diferentes formas que é possível ordenar as crianças nessa fila é de 6! x 3!. Portanto, a alternativa correta é a letra c).
Explicação passo a passo:
Essa fila pode ser formada, onde Carlos, Timóteo e Joana ficam juntos, de 6! * 3! modos distintos.
Quantidade de filas possíveis
Nessa questão, queremos que Carlos, Timóteo e Joana fiquem juntos nessa fila. Então, vamos considerar os três como um elemento.
Desse modo, a quantidade de filas seria a permutação de 6 elementos. Porém, observe que os três amigos podem trocar de posição entre si, assim também devemos permutar as posições dos três amigos. Logo, temos:
6! x 3! ⇒ 720 x 6 = 4.320
Portanto, podem ser formadas 6! * 3! ou 4.320 filas distintas.
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