Question

Em um triângulo um cateto é a terça parte do outro. Determine a medida da altura relativa a hipotenusa deste triângulo.

Answer 1

Utilizando as relações métricas de um triangulo de altura h obtemos como resposta:

$\longrightarrow\Large{\boxed{h=\dfrac{a\sqrt{10}}{10}}}$

Siga a figura, dado um triangulo ABC retângulo em B, temos que a altura relativa a hipotenusa será o segmento $BE=h$

Utilizando as relações métricas num triangulo retângulo temos que a altura relativa a hipotenusa é dada pela relação

$BE\cdot AC=AB\cdot BC$

Do enunciado temos que um dos catetos é igual a terça parte do outro, seja então $AB=a$ temos que $BC=\dfrac{a}{3}$

Logo, para encontrar h basta encontrarmos AC, aplicando então o teorema de Pitágoras segue que

$AC^2=a^2+\left(\dfrac{a}{3}\right)^2\\\\\\AC^2=a^2+\dfrac{a^2}{9}\\\\\\AC^2=\dfrac{9a^2+a^2}{9}\\\\\\AC=\sqrt{\dfrac{9a^2+a^2}{9}}\\\\\\AC=\dfrac{\sqrt{10a^2}}{\sqrt{9}}\\\\\\\ AC=\dfrac{a\sqrt{10}}{3}$

Por fim temos então que $AB=a$, $BC=\dfrac{a}{3}$, $AC=\dfrac{a\sqrt{10}}{3}$ e $BE=h$ basta então utilizar a relação que mencionei acima $BE\cdot AC=AB\cdot BC$, por fim

$h\cdot \dfrac{a\sqrt{10}}{3}=a\cdot\dfrac{a}{3}\\\\\\h\cdot \dfrac{a\sqrt{10}}{\not{3}}=\dfrac{a^2}{\not{3}}\\\\\\h=\dfrac{a^2}{a\sqrt{10}}\\\\\\h=\dfrac{a^{\not{2}}}{\not{a}\sqrt{10}}\\\\\\h=\dfrac{a}{\sqrt{10}}\quad\mbox{racinalizando}\\\\\\\Rightarrow\boxed{h=\dfrac{a\sqrt{10}}{10}}$

Para saber mais: https://brainly.com.br/tarefa/37714062