Question

Em um triângulo RTX o ponto Q é tal que 3TQ = 4QX . Além desse triângulo temos os pontos A =(2,3,4) , B = (3,7,9) e C=( 12,-7,2) de R3.
a) Utilizando a regra do triângulo escreva o vetor RQ em função de RT e RX ;
B) Apresente as coordenadas dos vetores u = AB e v = BC;
C) apresente as coordenadas do produto vetorial u x v .

Answer 1

O vetor RQ pode ser escrito como RT + TQ ou RX + XQ, então temos:

RQ = RT + TQ = RX + XQ

Sabemos que 3.TQ = 4.QX, então:

RQ = RT + 4.QX/3 = RX - QX

RQ = RT + (4/3).QX = RX - QX

RT + (4/3).QX + QX = RX

RT - RX = (7/3).QX

QX = (RT - RX).(3/7)

XQ = (RX - RT).(3/7)

Substituindo XQ, temos:

RQ = RX + (RX - RT)(3/7)

RQ = (10/7).RX - (3/7).RT

RQ = (10.RX - 3.RT)/7

b) As coordenadas de um vetor podem ser encontradas ao fazermos a diferença entre os pontos:

u = AB = B - A

u = (3, 7, 9) - (2, 3, 4)

u = (1, 4, 5)

v = BC = C - B

v = (12, -7, 2) - (3, 7, 9)

v = (9, -14, -7)

c) O produto vetorial de u e v pode ser calculado pelo determinante da matriz abaixo:

i    j   k

1   4   5

9 -14 -7

Temos:

det = i.4.(-7) + j.5.9 + k.1.(-14) - 9.4.k - (-14).5.i - (-7).1.j

det = -28i + 45j - 14k - 36k + 70i + 7j

det = 42i + 52j - 50k

u ^ v = (42, 52, -50)