Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede o dobro do outro cateto mais 5 centímetros. Sabendo que a hipotenusa mede 85 cm, quanto mede o cateto maior?
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo a passo:
O cateto maior do triângulo retângulo dado mede 77cm.
Relação trigonométrica / Bháskara
Tem-se um triângulo retângulo, ou seja, um triângulo composto por um ângulo de 90º, pode-se admitir:
Hipotenusa² = (cateto a)² + (cateto b)²
Resolução do exercício
Foi informado:
- Medida do cateto a = x;
- Medida do cateto b (maior) = dobro do cateto a mais 5cm = 2x + 5;
- Hipotenusa = 85cm
Portanto:
85² = x² + (2x + 5)² (equação I)
Observa-se que há um quadrado da soma, portanto:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Então:
(2x + 5)² = (2x)² + (2 × 2x × 5) + 5²
(2x + 5)² = 4x² + 20x + 25 (equação II)
Substituindo a equação II em I, tem-se:
85² = x² + (4x² + 20x + 25)
7225 = 5x² + 20x + 25
5x² + 20x + (25 - 7225) = 0
5x² + 20x - 7200 = 0 (equação III)
Para maior facilidade dos cálculos divide-se a equação III por 5:
x² + 4x - 1440 =0
Calcula-se os valores de x por Bháskara:
Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - (4 × 1 × -1440)
Δ = 16 - (-5.760)
Δ = 16 + 5.760
Δ = 5.776
x = (-b ± √Δ) / 2a
x = (-4 ± √5776) / (2 × 1)
x = (-4 ± 76) / 2
Como uma medida não pode ser negativa, admite-se apenas a resultante positiva, ou seja:
x = (-4 + 76) /2
x = 72 / 2
x = 36cm
Logo, o cateto maior medirá:
cateto maior = 2x + 5
cateto maior = (2 × 36) + 5
cateto maior = 72 + 5
cateto maior = 77cm
Para melhor fixação do conteúdo você pode ver outras perguntas nos links:
- Relações trigonométricas: https://brainly.com.br/tarefa/22323073
- Bháskara: https://brainly.com.br/tarefa/4919898
Bons estudos!
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