Question

em um triangulo retângulo um dos ângulos internos mede 45° e seu perímetro é 2p. Determine a medida da altura relativa a hipotenusa em função de p :

Answer 1

O triângulo tem um ângulo de 90º, outro de 45º e um x

A soma desses ângulos deve ser 180º:

$90\º+45\º+x=180\º\\x=45\º$

Fazendo o seno de um dos ângulos de 45º:

$sen~45\º=l/a\\\sqrt{2}/2=l/a\\a\sqrt{2}=2l\\a=2l/\sqrt{2}\\a=2l\sqrt{2}/2\\a=l\sqrt{2}$
_______________________

Achando as projeções dos catetos:

$b^{2}=a*m\\l^{2}=l\sqrt{2}*m\\l=\sqrt{2}*m\\m=l/\sqrt{2}$

A projeção do outro cateto será igual

$n=m=l\sqrt{2}$

Calculando a altura relativa à hipotenusa:

$h^{2}=m*n\\h^{2}=(l/\sqrt{2})*(l/\sqrt{2})\\h^{2}=(l/\sqrt{2})^{2}\\h=l/\sqrt{2}\\l=h\sqrt{2}$

Fazendo o perímetro desse triângulo:

$2p=(cat)+(cat)+(hip)\\2p=l+l+l\sqrt{2}\\2p=2l+l\sqrt{2}\\p=(2l+l\sqrt{2})/2\\p=l+(l\sqrt{2}/2)\\p=l+(l\sqrt{2}*\sqrt{2}/[2*\sqrt{2}])\\p=l+(l*2/[2\sqrt{2}])\\p=l+(l/\sqrt{2})$

Como l/√2 = h e l = h√2:

$p=h\sqrt{2}+h\\p=h(\sqrt{2}+1)\\\\\boxed{\boxed{h=\dfrac{p}{\sqrt{2}+1}}}$