Question

Em um triangulo retângulo, um cateto mede 10cm e sua projeção sobre a hipotenusa mede 5cm. Nessas condições, determine:
a) a medida da hipotenusa:
b) a medida do outro cateto:
c) a medida da altura relativa á hipotenusa:

Answer 1

b = 10
m = 5 
b² = am
10² = a * 5
100 = 5a
a = 100/5 = 20 *** ( hipotenusa) ( Resposta  a )
a² = b² + c²
400 = 100 + c²
400-100 = c²
c² = 300
c = V300 = V2² * V3 * V5² = 2 * 5 * V3 = 10V3 **** Respost b  - outro cateto
NOTA
Raiz de 300  
300 = 2² * 3 * 5²  ( fatorando)
V300 = V2² * V3 * V5² =  2 * 5 * V3  = 10V3 **

h² = mn
m + n = a
5 + n = 20
n = 20 - 5
n = 15 **** 
h² = mn
h² = 5 * 15 
h² = 75
h = V75 = V3 * V5² = 5V3 **** altura   Resposta c 

Nota
V75 
fatorando  75 = 3 * 5² 
V75 = V3 * V5² = 5V3 ***

Answer 2

Seja o triângulo retângulo dado o triângulo ABC, no qual:
- a projeção do vértice A sobre a hipotenusa é o ponto H (assim, AH é a altura relativa à hipotenusa, que vamos chamar de h = ?)
- AC é o cateto cuja medida é fornecida no enunciado (b = 10 cm)
- CH é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa (m = 5 cm)
- BC é a hipotenusa (a = ?)
- AB é cateto (c = ?)

Vamos começar a resolução pelo item c):

c) o cateto dado no enunciado (b = 10 cm) , a sua projeção sobre a hipotenusa (m = 5 cm) e a altura relativa à hipotenusa (h) formam um triângulo retângulo, no qual:
- o cateto (b) é a hipotenusa 
- a projeção deste cateto sobre a hipotenusa (m) é um cateto
- a altura relativa à hipotenusa (h) é o outro cateto

Então, se aplicarmos a este triângulo o Teorema de Pitágoras, teremos:

b² = m² + h²
h² = b² - m²
h² = 10² - 5²
h² = 75
h = √75

h = 8,66 cm, medida da altura relativa à hipotenusa

a) A medida da hipotenusa pode ser calculada por semelhança, pois o triângulo retângulo ABC é semelhante ao triângulo retângulo HAC. Então, podemos escrever que:

cateto maior/cateto maior = hipotenusa/hipotenusa

b/m = a/b

Multiplicando os meios pelos extremos, obtemos:

am = b²
a = b² ÷ m
a = 10² ÷ 5

a = 20 cm, medida da hipotenusa

b) A medida do outro cateto (c) pode ser obtida pelo Teorema de Pitágoras, pois já conhecemos o valor da hipotenusa e o valor do outro cateto:

a² = b² + c²
c² = a² - b²
c² = 20² - 10²
c² = 400 - 100
c = √300

c = 17,32 cm, medida do outro cateto