Question

. Em um triângulo retângulo, sabe-se que:

• o perímetro é 150 cm;

• a medida da altura relativa à hipotenusa é 30 cm.

a) Determine a medida da hipotenusa.

Answer 1

Resposta:

62,5 cm

Explicação passo-a-passo:

Seja a, b, c os lados do triângulo retângulo, onde a é a hipotenusa, e h=30 cm sua altura relativa.

Logo temos que:

a+b+c= 150

h= 30

A área "S" do triângulo é dada por:

S= a.h/2 (I)

S= b.c/2 (II)

Como (I) = (II):

a.h/2 = b.c/2

a.30 = b.c (III)

Usando a equação a+b+c= 150, temos:

a+b+c= 150

(a+b+c)^2 = 150^2

a^2 + 2.a.(b+c) + (b+c)^2 = 150^2

a^2 + 2.a.(b+c) + b^2 + 2bc + c^2 = 150^2

a^2 + 2.a.(b+c) + 2bc + b^2 + c^2 = 150^2

Por Pitágoras temos que a^2= b^2 + c^2, logo:

a^2 + 2.a.(b+c) + 2bc + a^2 = 150^2

2.a^2 + 2.a.(b+c) + 2bc = 150^2

Substituindo (III) temos:

2.a^2 + 2.a.(b+c) + 2(a.30) = 150^2

2.a^2 + 2.a.(b+c+30) = 150^2

Como b+c=150-a, temos:

2.a^2 + 2.a.((150-a)+30) = 150^2

2.a^2 + 2.a.(180-a) = 150^2

2.a^2 + 360.a - 2.a^2 = 150^2

360.a = 150^2

a= (150^2)/360

a= 62,5 cm

Verificando o resultado:

a.30=bc

bc= 1875

(b+c)^2=

b^2 + 2bc + c^2=

a^2 + 2bc=

(62,5)^2 + 3750

Logo:

(b+c)= raiz((62,5)^2 + 3750)

(b+c)= 87,5

Portanto:

a+b+c = 150

62,5 + 87,5 = 150

150 = 150 (bateu!)

Assim, a hipotenusa vale 62,5 cm.

Blz?

Abs :)