Question

Em um triângulo retângulo, sabe-se que a medida da hipotenusa excede a medida do menor cateto em 4cm e o cateto menor é 2cm menor que o cateto maior. Qual é o perímetro desse triângulo?

Answer 1

Resposta:

24 cm

Explicação passo a passo:

Ok, a primeira vista essa questão pode parecer complicada, mas na verdade é divertida e até fácil, apenas um pouco trabalhosa. Vou tentar explicar o passo a passo de uma forma clara. (h = hipotenusa; c = cateto menor; C = cateto maior)

Primeiro devemos anotar os dados que temos:

H = c + 4

c = C - 2

Agora devemos associar os dados com alguma fórmula conhecida que envolva a hipotenusa, nesse caso, iremos usar o famoso Teorema de Pitágoras (h² = c² + C²):

(c + 4)² = (C - 2)² + C²

Feito isso, iremos fazer o quadrado da soma de dois termos, trocar o "c" por "C - 2" posteriormente e novamente fazer o quadrado da soma de dois termos:

c² + 2 . c . 4 + 16 = C² - 2 . C . 2 + 4 + C²

(C - 2)² + 8c + 16 = 2C² - 4C + 4

C² - 2 . C . 2 + 4 + 8 (C - 2) + 16 = 2C² - 4C + 4

Agora é apenas matemática básica:

C² - 4C + 4 + 8C - 16 + 16 = 2C² - 4C + 4

C² + 4C + 4 = 2C² - 4C + 4

- C² + 8C = 0

Nota-se que chegamos em uma equação de segundo grau, então temos que achar a raiz pela fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de C:

C = $\frac{- 8 +/- \sqrt{8^{2} - 4 . (- 1) . 0} }{2 . (-1)}}$

C = $\frac{- 8 +/- \sqrt{8^{2} } }{-2}}$

C$_{1}$ = $\frac{- 8 - 8}{-2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8 cm

C$_{2}$ = $\frac{-8+8}{-2}$ = $\frac{0}{-2}$ = 0 cm

Como o valor de C$_{2}$ é igual a 0, então iremos usar o valor de C$_1$. O valor do cateto maior é 8, a parte mais difícil já passou! Agora vamos encontrar o valor do cateto menor e depois da hipotenusa utilizando os dados que encontramos no início da resolução:

c = C - 2

c = 8 - 2

c = 6 cm

Fazemos o mesmo com a hipotenusa:

h = c + 4

h = 6 + 4

h = 10 cm

Esse passo não é 100% necessário, é apenas uma garantia de que estamos fazendo o certo, porque nós vamos tirar a prova real a partir do Teorema de Pitágoras com os valores que encontramos:

h² = c² + C²

10² = 6² + 8²

100  = 36 + 64

100 = 100

Podemos respirar, os valores encontrados estão corretos, agora a gente pode finalmente encontrar o perímetro do triângulo. Lembrando que o perímetro é a soma de todos os lados, então só precisamos somar todos os valores encontrados:

10 cm + 6 cm + 8 cm = 24 cm

Então finalmente concluímos a questão!