Question

Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 54 cm e 24 cm. CALCULE a medida da altura relativa à hipotenusa desse triângulo retângulo em centímetros.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{h=36~cm}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para calcularmos a medida da altura relativa à hipotenusa desse triângulo, devemos relembrar algumas propriedades.

Observe a imagem em anexo: Temos um triângulo retângulo, a medida do segmento que une o vértice oposto a hipotenusa  à sua projeção ortogonal determina a altura.

Esta projeção divide a hipotenusa em duas partes, $m$ e $n$. Veja que os ângulos formados são retos, logo podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.

Sejam os lados $a,~b$ e $c$, tal que $a$ é a hipotenusa, $b$ e $c$ são os catetos.

Ao dividirmos a hipotenusa em $m$ e $n$, facilmente podemos ver que $a=m+n$.

Então, aplicamos o teorema de Pitágoras e formamos o sistema:

$\begin{cases}b^2=h^2+m^2\\c^2=h^2+n^2\\\end{cases}$

Veja que inicialmente, tínhamos $a^2=b^2+c^2$, então substituindo esta expressões, temos:

$a^2=h^2+m^2+h^2+n^2$

Como dito anteriormente, $a=m+n$, logo

$(m+n)^2=2h^2+m^2+n^2$

Expanda o binômio, lembrando que $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$m^2+2mn+n^2=2h^2+m^2+n^2$

Comparando os dois lados da equação, cancele os termos opostos

$\not{m^2}+2mn+\not{n^2}=2h^2+\not{m^2}+\not{n^2}\\\\\\ 2h^2=2mn$

Dividindo ambos os lados por $2$, temos

$h^2=mn$

Retire a raiz em ambos os lados da equação

$h=\pm\sqrt{mn}$

Como se trata de uma figura geométrica, assumimos somente a solução positiva, logo

$h=\sqrt{mn}~~\checkmark$

Então, seja $m=54~cm$ e $n=24~cm$, substituindo os valores, temos:

$h=\sqrt{54\cdot 24}$

Multiplique os valores

$h=\sqrt{1296}$

Calculando esta raiz, temos:

$h=36~cm$

Este é a medida da altura relativa à hipotenusa desse triângulo retângulo.

Answer 2

Oie, Td Bom?!

$h {}^{2} = m \: . \: n$

$h {}^{2} = 54 \: . \: 24$

$h {}^{2} = 1296$

$h = \sqrt{1296}$

$h = 36 \: cm$

Att. Makaveli1996