Question

Em um triângulo retângulo ABC queremos inscrever um retângulo DEFB, como ilustra a figura (FOTO). Sabendo que AB = 6 cm e BC = 2 cm, determine as dimensões do retângulo de modo que sua área seja máxima.

Answer 1

Sejam $BD=x$ e $BF=y$.

Os triângulos $ADE$ e $ABC$ são semelhantes.

Assim, 

$\dfrac{AD}{DE}=\dfrac{AB}{BC}$

$\dfrac{6-x}{y}=\dfrac{6}{2}$

$\dfrac{6-x}{y}=3$

$6-x=3y$

$x=6-3y$

A área do retângulo inscrito é $xy$, ou seja:

$(6-3y)y=-3y^2+6y$.

$y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$-\Delta=-6^2+4\cdot(-3)\cdot0=-36$

$y_v=\dfrac{-36}{4(-3)}=\dfrac{-36}{-12}=3$

$x_v=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6}{2(-3)}=1$

$y=1$ e $x=6-3=3$.