Question

Em um triângulo retângulo ABC qualquer, sejam M, N e P os pontos médios dos lados AB,BC e CA, respectivamente. Mostre que o triângulo MNP também é um triângulo retângulo. Quem puder ajudar, agradeço <3

Answer 1

A demonstração de que o triângulo MNP também é um triângulo retângulo está descrita abaixo.

Sendo M, N e P os pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente, é correto afirmar que MP // BC, NP // AB e MN // AC.

Então, os triângulos AMP, PNC e MNB são retângulos.

Observe que os ângulos MAP, BMN e NPC são congruentes. Da mesma forma, os ângulos APM, PCN e MNB também.

Vamos considerar que BMN = x e MNB = y.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

Logo:

x + y + 90 = 180

x + y = 90º.

Veja que a soma dos ângulos APM, MPN e NPC é igual a 180º.

Como APM = y e NPC = x, temos que:

x + y + MPN = 180

90 + MPN = 180

MPN = 90º.

Portanto, o triângulo MNP é retângulo em P.