Question

Em um triângulo retângulo ABC, a diferença entre os catetos é 2 cm e o produto é
48 cm 2 . Calcule:
a) a hipotenusa deste triângulo.
b) a altura relativa a hipotenusa.
c) as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Answer 1

              Cateto "b"  e  Cateto "c"

           Temos que:
                              {b - c = 2 ---> b = c + 2  (i)
                              {b.c   = 48 -->b = 48/c  (ii)
         (i)  =  (ii) 
        c + 2 = 48/c
        c² + 2c = 48
        c² + 2c - 48 = 0  (aplicando Báskara)
        Δ= b² - 4ac --> Δ= 4 + 192 = 196
        √Δ= +-√196 = +-14
         
        c' = (-2-14)/2 = -16/2 = -8 <-- medida negativa não serve
        c" =(-2+14)/2 = 12/2 = 6 cm <-- medida do cateto c
        
      (i) --> b = c +2 --> b = 6 + 2 --> b = 8 cm <-- medida do cateto b

    Calculando:
a) medida da hipotenusa: (vamos chamar de "a")
           a² = b² + c²
           a² = 8² + 6² 
           a² = 64 + 36
           a² = 100        
           a  = √100 ---> a = 10 cm <-- medida da hipotenusa

  b) altura relativa a hipotenusa: (altura "h")
         a.h = b . c
       10h  = 8 . 6
       10h = 48
           h =48/10 
                        h = 4,8 cm <--- medida da altura

      c) projeções dos catetos sobre a hipotenusa:
            "m"  e  "n"  são as projeções
             
          b² = a.m
          8² = 10m
          64 = 10m
                      m = 64/10 ---> m = 6,4 cm <--- projeção do cateto b


          c² = a.n
          6² = 10n
          36 = 10n
                      n = 36/10 --> n = 3,6 <-- projeção do cateto c