Question

. Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 25 cm e determina sobre a hipotenusa projeções cujas medidas são expressas por x e x+1. Nessas condições, determine as medidas dos catetos.

Answer 1

Dados:
h = 25 cm
m = x
n = x + 1
hipotenusa = a = m + n = x + x + 1 = 2x + 1

Das relações do triângulo retângulo, sabemos que:
h² = m.n
25² = x.(x + 1)
625 = x² + x
x² + x - 625 = 0

Resolvendo a equação acima:
Δ = 1² - 4.1.(- 625)
Δ = 1 + 4.1.625
Δ = 1 + 4.1.625
Δ = 2501
x = (√2501 - 1)/2  (escolhida apenas a solução positiva).

Substituindo:
m = (√2501 - 1)/2
n = (√2501 - 1)/2 + 1 
a = (√2501 - 1)/2 + (√2501 - 1)/2 + 1 = √2501

Relações envolvendo os catetos:
b² = a.m
b² = √2501.(√2501 - 1)/2 
b = √[(2501 - √2501)/2] cm.

c² = a.n
c² = √2501.[(√2501 - 1)/2 + 1]
c² = (2501 - √2501)/2 + √2501
c = √[(2501 + √2501)/2] cm.

Caso o exercício solicite que os valores dos catetos sejam expressos em termos de x, tudo fica mais simples. Basta aplicar as duas últimas relações:

b² = a.m
b² = (2x + 1).x
b = √(2x² + x).

c² = a.n
c² = (2x + 1).(x + 1)
c² = 2x² + 2x + x + 1
c² = 2x² + 3x + 1
c = √(2x² + 3x + 1).