Em um triângulo retângulo,a altura relativa à hipotenusa determina sobre ela segmentos de reta de 4cm e 9cm (projeções dos catetos sobre a hipotenusa). Calcule a medida aproximada do angulo formado pela altura e pelo cateto menor desse triângulo.
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Maciel11111,
Inicialmente, vamos identificar os elementos do triângulo:
b = cateto maior
c = cateto menor
m = projeção do cateto b sobre a hipotenusa (9 cm)
n = projeção do cateto c sobre a hipotenusa (4 cm)
h = altura do triângulo retângulo
A altura (h) de um triângulo retângulo é a média proporcional entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa (n = 4 cm e m = 9 cm):
h/n = m/h
h² = 4 × 9
h = √36
h = 6 cm (altura do triângulo)
O menor cateto deste triângulo (c) é aquele que tem a menor projeção sobre a hipotenusa. Este cateto (c) é a hipotenusa de um outro triângulo retângulo, que tem como catetos a altura (h) e a projeção do cateto c sobre a hipotenusa (n).
O ângulo que a questão quer obter é o ângulo formado pelo cateto c e pela altura h. Como visto acima, a altura h é cateto adjacente e o cateto n é o cateto oposto a ele.
Então, se aplicarmos a função trigonométrica tangente, teremos:
tg = n/h
tg = 4/6
tg = 0,666...
arc tg = 33,69º
R.: O ângulo formado pela altura e pelo cateto menor deste triângulo mede 33,69º.
Obs.: É a mesma medida do ângulo formado pelo cateto maior e a projeção deste cateto maior sobre a hipotenusa.
Inicialmente, vamos identificar os elementos do triângulo:
b = cateto maior
c = cateto menor
m = projeção do cateto b sobre a hipotenusa (9 cm)
n = projeção do cateto c sobre a hipotenusa (4 cm)
h = altura do triângulo retângulo
A altura (h) de um triângulo retângulo é a média proporcional entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa (n = 4 cm e m = 9 cm):
h/n = m/h
h² = 4 × 9
h = √36
h = 6 cm (altura do triângulo)
O menor cateto deste triângulo (c) é aquele que tem a menor projeção sobre a hipotenusa. Este cateto (c) é a hipotenusa de um outro triângulo retângulo, que tem como catetos a altura (h) e a projeção do cateto c sobre a hipotenusa (n).
O ângulo que a questão quer obter é o ângulo formado pelo cateto c e pela altura h. Como visto acima, a altura h é cateto adjacente e o cateto n é o cateto oposto a ele.
Então, se aplicarmos a função trigonométrica tangente, teremos:
tg = n/h
tg = 4/6
tg = 0,666...
arc tg = 33,69º
R.: O ângulo formado pela altura e pelo cateto menor deste triângulo mede 33,69º.
Obs.: É a mesma medida do ângulo formado pelo cateto maior e a projeção deste cateto maior sobre a hipotenusa.
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