Question

Em um triângulo equilátero ABC, de área 36∙√3 cm^2, prolonga-se a base (BC) ̅ e sobre o prolongamento, a uma distância de 6 cm do vértice C, marca-se o ponto D. Une-se o ponto D até o ponto E, que é ponto médio de (AB) ̅ e marca-se o ponto F na interseção de (AC) ̅ com (DE) ̅. Qual a rea do triangulo ADF

Answer 1

$Observe \ o \ anexo! \\ \\ \\ A_{(\triangle eq)} \ = \ \frac{l_{(\triangle eq)}^2 \ \cdot \ \sqrt{3}}{4} \ \rightarrow \\ \\ A_{(\triangle eq)} \ \rightarrow \ \'Area \ do \ \triangle \ equil\'atero \ de \ lado \ l_{(\triangle eq)}.$

$A_{(\triangle)} \ = \ \frac{L_a \ \cdot \ L_b \ \cdot \ sen(\alpha)}{2} \ \rightarrow \\ \\ A_{(\triangle)} \ \rightarrow \ \'Area \ de \ um \ \triangle \ qualquer, \ sendo \ L_a \ e \ L_b \ 2 \ de \ seus \ lados \\ e \ \alpha \ o \ \^angulo \ entre \ os \ mesmos.$

$Sendo \ \triangle ABC \ equil\'atero \ de \ \'area \ A_{(\triangle ABC)} \ = \ 36 \ \cdot \ \sqrt{3} \ cm^2 \ \longrightarrow \\ \\ 36 \ \cdot \ \not{\sqrt{3}} \ = \ \frac{l_{(\triangle ABC)}^2 \ \cdot \ \not{\sqrt{3}}}{4} \ \rightarrow \\ \\ l_{(\triangle ABC)}^2 \ = \ 36 \ \cdot \ 4 \ \rightarrow \\ \\ l_{(\triangle ABC)} \ = \ \sqrt{36} \ \cdot \ \sqrt{4} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{l_{(\triangle ABC)} \ = \ AB \ = \ BC \ = \ AC \ = \ 12 \ cm} \\ \\ (l_{(\triangle ABC)} \ \ \textgreater \ \ 0)$

$Sejam \ E, \ M \ e \ N \ pontos \ m\'edios. \\ \\ \boxed{AE \ = \ BE \ = \ BM \ = \ MC \ = \ AN \ = \ NC \ = \ \frac{l_{(\triangle ABC)}}{2} \ = \ 6 \ cm}$

$Sabemos \ tamb\'em \ que \ A\widehat{B}C \ = \ C\widehat{A}B \ = \ A\widehat{C}B \ = \ 60^\circ \\ (\triangle \ ABC \ \'e \ equil\'atero).$

$Quando \ h\'a \ 2 \ segmentos \ iguais \ entre \ eles \ h\'a \\ 60^\circ, \ ao \ ligarmos \ seus \ v\'ertices \ distintos, \\ este \ novo \ segmento \ tem \ a \ mesma \ medida \ que \ os \ 2 \ primeiros, \\  consequ\^encia \ direta \ da \ Lei \ do \ Cosseno. \\ \\ \'E \ o \ caso \ de \ \triangle \ EBM \ (E\widehat{B}M \ = \ A\widehat{B}C \ = \ 60^\circ). \\ \\ Logo, \ EB \ = \ BM \ = \ EM \ = \ 6 \ cm.$

$Se \ E\widehat{M}B \ = \ 60^\circ, \ do \ raso \ da \ linha \ AB, \ E\widehat{M}D \ = \ 120^\circ. \\ \\ Isso \ \'e \ o \ mesmo \ que \ ocorre \ em \ B\widehat{C}A \ (60^\circ) \ e \ D\widehat{C}A \ (120^\circ). \\ \\ Logo, \ \boxed{EMD \ \sim \ FCD} \\ (comprovado \ por \ \^angulos \ e \ pela \ propor\c{c}\~ao \ a \ seguir).$

$MD \ = \ \underbrace{MC}_{= \ 6 \ cm} \ + \ \underbrace{CD}_{= \ 6 \ cm \ (prolongamento)} \ \longrightarrow \\ \\ \\ \boxed{MD \ = \ 12 \ cm}$

$Vamos \ encontrar \ a \ raz\~ao \ de \ semelhan\c{c}a \ K \ entre \ os \ ditos \\ \triangle \ semelhantes. \\ \\ K \ = \ \frac{MD}{CD} \ \rightarrow \\ \\ K \ = \ \frac{12}{6} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{K \ = \ 2} \ \longrightarrow \ As \ medidas \ de \ \triangle EMD \ s\~ao \ o \ dobro \ das \ de \ \triangle FCD.$

$Ou \ seja, \ ED \ = \ 2 \ \cdot \ FD. \ Vamos \ encontrar \ ED. \\ \\ Antes, \ BD \ \Rightarrow \ \underbrace{BC}_{= \ 12 \ cm} \ + \ \underbrace{CD}_{= \ 6 \ cm} \ = \ \boxed{18 \ cm} \ \dots \\ \\ \\ Lei \ do \ Cosseno \ em \ \triangle EDB \ \longrightarrow \\ \\ ED^2 \ = \ EB^2 \ + \ BD^2 \ - \ 2 \ \cdot \ EB \ \cdot \ BD \ \cdot \ cos(\underbrace{E\widehat{B}D}_{= \ 60^\circ}) \ \rightarrow \\ \\ ED^2 \ = \ 6^2 \ + \ 18^2 \ - \ \frac{\not{2} \ \cdot \ 6 \ \cdot \ 18 \ \cdot \ 1}{\not{2}} \ \rightarrow$

$ED^2 \ = \ 36 \ + 324 \ - \ 180 \ \rightarrow \\ \\ ED \ = \ \sqrt{252} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{ED \ = \ 6 \ \cdot \ \sqrt{7} \ cm} \\ \\ (ED \ \ \textgreater \ \ 0)$

$Logo, \ FD \ = \ EF \ = \ \frac{ED}{2} \ = \ \boxed{3 \ \cdot \ \sqrt{7} \ cm}$

$Pela \ semelhan\c{c}a \ entre \ EMD \ e \ FCD \ \rightarrow \\ \\ EM \ = \ \underbrace{K}_{raz\~ao \ de \ semelhan\c{c}a} \ \cdot \ FC \ \rightarrow \\ \\ \\ 6 \ = \ 2 \ \cdot \ FC \ \rightarrow \ \boxed{FC \ = \ 3 \ cm}$

$No \ \triangle AEF \ \Rightarrow \\ \\ Aplicaremos \ a \ dita \ Lei \ dos \ Senos \\ \\ \frac{EF}{sen(A\widehat{E}F)} \ = \ \frac{AE}{sen(E\widehat{F}A)} \ \rightarrow \\ \\ \frac{3 \ \cdot \ \sqrt{7}}{\underbrace{\frac{\sqrt{3}}{2}}_{sen(60^\circ)}} \ = \ \frac{6}{sen(E\widehat{F}A)} \ \rightarrow$

$sen(E\widehat{F}A) \ \cdot \ \not{3} \ \cdot \ \sqrt{7} \ = \ \not{3} \ \cdot \ \sqrt{3} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{sen(E\widehat{F}A) \ = \ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$

$Veja \ que \ E\widehat{F}A \ + \ A\widehat{F}D \ = \ 180^\circ. \\ \\ Logo, \ s\~ao \ \bold{suplementares} \ \Rightarrow \\ \\ \boxed{sen(E\widehat{F}A) \ = \ sen(A\widehat{F}D)}$

$Logo, \ \boxed{sen(A\widehat{F}D) \ = \ sen(E\widehat{F}A) \ = \ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$

$No \ \triangle AFD \ \Rightarrow \\ \\ \underbrace{AC}_{= \ 12 \ cm} \ = \ AF \ + \ \underbrace{FC}_{= \ 3 \ \cm} \ \longrightarrow \ \boxed{AF \ = \ 9 \ cm}$

$A_{(\triangle AFD)} \ = \ \frac{AF \ \cdot \ FD \ \cdot \ sen(A\widehat{F}D)}{2} \ \rightarrow \\ \\ A_{(\triangle AFD)} \ = \ \frac{9 \ \cdot \ 3 \ \cdot \ \not{\sqrt{7}} \ \cdot \ \sqrt{3}}{2 \ \cdot \ \not{\sqrt{7}}} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{A_{(\triangle AFD)} \ = \ \frac{27 \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ cm}} \ \Rightarrow \ \'Area \ do \ \triangle \ AFD!$