Matemática, perguntado por Niiya, 1 ano atrás

Em um triângulo ABC retângulo em B, a altura BH forma com a mediana BM um ângulo de 28º. Calcule o menor ângulo desse triângulo.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por newtoneinsteintesla

Chamarei o angulo HMB de x

90+x+28=180
x=180-90-28
x=62

O triangulo BMC é isosceles pois ele é dividido por uma mediana que forma triangulos congruentes, BHM e BHA, logo BHC precisa ser isosceles. Chamando os angulos de a

62=2a ( lembre-se que o angulo externo de um triangulo é a soma dos angulos internos nao adjacentes a este angulo )

a=62/2
a=31

Resposta⇒ O menor angulo é de 31 graus

Niiya: A resposta é essa mesmo! mas por que os triângulos BHM e BHA são congruentes?

newtoneinsteintesla: Porque BH é a altura que forma 90 graus com a base. Entao vai estar dividindo o lado AM em dois onde H é o ponto medio da base e a altura BH é a mesma para os dois triangulos. vou chamar os lados de

newtoneinsteintesla: Vou chamar os lados BM de x e BA de y. Se temos dois triangulos retangulos, podemos usar o teorema de pitagoras: x^2=HM^2+BH^2. y^2=AH^2+BH^2 mas como AH+HM=AM, significa que AH é metade de AM e o mesmo vale para HM. Logo ficamos com AH=HM=AM/2 e ainda por cima a altura para os dois triangulos é a mesma que chamarei de h x^2=h^2+(AM/2)^2 e y^2=h^2+(AM/2)^2 mas perceba que os dois dao a mesma coisa logo x^2=y^2 x=y

newtoneinsteintesla: Assim, o triangulo ABM é dividido ao meio e provamos que BHA e BHM sao congruentes

Niiya: Só não vejo diretamente o motivo de AH = HM, como isso é verificado?

newtoneinsteintesla: Bh é uma altura e toda altura de um triangulo, no caso isosceles, divide a base em duas medidas iguais

newtoneinsteintesla: isso serve para triangulos equilateros e isosceles

Niiya: Sim, eu sei, mas a questão é o motivo de ABM ser isósceles. Conhece alguma prova de que AB = BM?

newtoneinsteintesla: Prova usando teorema de pitagoras tambem

Respondido por viniciusredchil

Propriedade 1

Todo triângulo retângulo pode ser circunscrito em uma circunferência que possui centro no ponto médio da hipotenusa.

Propriedade 2

A medida de um ângulo de segmento é a metade do arco por ele estabelecido.

Primeiramente, identificamos que a primeira propriedade se aplica neste Triângulo. Assim, o arco AB de uma circunferência de centro M mede 62º (Medida do ângulo BMH). Aplicando a propriedade 2, vemos que ACB mede 31º, que é menor que os outros ângulos do triângulo retângulo ABC.

Portanto a resposta é 31º.

Niiya: Verdade, visualizando dessa forma fica muito mais fácil! Muito obrigado :)

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