Question

em um triângulo Abc as medianas que partem de a é B são perpendiculares se bc=8 É ac=6 calcule ab

Answer 1

Considere a figura abaixo.

A mediana passa pelo ponto médio de um segmento. Então, considere que D é o ponto médio de BC e E é o ponto médio de AC.

Assim, BD = DC = 4 e AE = EC = 3.

O encontro das medianas é chamado de Baricentro, que está representado pelo ponto G.

Então, temos que:

$AG = \frac{2AD}{3}$

$DG =\frac{AD}{3}$

$BG=\frac{2BE}{3}$

$GE = \frac{BE}{3}$

Como as medianas são perpendiculares, então podemos utilizar o Teorema de Pitágoras nos triângulos:

ΔBDG

DB² = DG² + GB²

$\frac{AD^2}{9}+ \frac{4BE^2}{9} = 16$

AD² + 4BE² = 144 (*)

ΔAGE

EG² + AG² = EA²

$\frac{BE^2}{9}+ \frac{4AD^2}{9} = 9$

4AD² + BE² = 81 (**)

Com as duas equações (*) e (**) podemos montar o sistema:

{AD² + 4BE² = 144

{4AD² + BE² = 81

Multiplicando por -4 a primeira equação e somando:

{-4AD² - 16BE² = -576

{4AD² + BE² = 81

-15BE² = -495

BE² = 33

Assim, AD² = 12.

Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ΔABG:

AG² + BG² = AB²

$\frac{4AD^2}{9}+ \frac{4BG^2}{9} = AB^2$

$AB^2 = \frac{4.12+4.33}{9}$

$AB^2 = \frac{180}{9}$

AB² = 20

AB = 2√5.