Question

Em um trecho de mata próximo à cidade
polícia encontrou, por volta das 17 horas.um
cadáver. O médico legista chegou às 17h20min e
imediatamente mediu a temperatura do corpo
que era de 32,5 °C. Uma hora mais tarde, ele mediu
novamente a temperatura e verificou que era
31,5 °C. A temperatura ambiente (na mata) se manteve constante, a 16,5 °C. O legista considera que
a temperatura normal de uma pessoa viva é
36,5 °C. De acordo com as temperaturas coletadas,
e usando a lei do resfriamento de Newton, o ho-
rário da morte pode ser estimado por volta de:
(Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47.)
a) 13h40min.
b) 14h. c)14h 40min. d)15horas. e)14h 50 min​

Answer 1

Utilizando a Lei de resfriamento de Newton temos que este assassinato ocorreu ao meio dia e 44 min.

Explicação passo-a-passo:

A Lei de resfriamento de Newton nos diz que qualquer corpo esfria segundo a lei:

$T=T_a+(T_0-T_a)e^{-k.t}$

Onde Ta é a temperatura do ambiente, T0 é a temperatura inicial do corpo, t é o tempo passado e k é uma constante de resfriamento.

Substituindo o que já temos na formula:

$T=16,5+(36,5-16,5)e^{-k.t}$

$T=16,5+20.e^{-k.t}$

Agora podemos tentar descobrir a constante k. Para isso vamos primeiro usar  o fato de que as 17h20min o corpo estava a temperatura de 32,5ºC e isso ocorreu em um tempo t após o assassinato, que não sabemos ainda:

$T=16,5+20.e^{-k.t}$

$32,5=16,5+20.e^{-k.t}$

$32,5-16,5=20.e^{-k.t}$

$16=20.e^{-k.t}$

$\frac{16}{20}=e^{-k.t}$

$\frac{4}{5}=e^{-k.t}$ (1)

Por enquanto vamos deixar estas equação assim e chama-la de equação (1).

Agora vamos usar o fato que 1 hora depois, ou seja, t + 60 min o corpo estava a 31,5ºC:

$T=16,5+20.e^{-k.t}$

$31,5=16,5+20.e^{-k.(t+60)}$

$31,5-16,5=20.e^{-k.(t+60)}$

$15=20.e^{-k.(t+60)}$

$\frac{15}{20}=e^{-k.t-60k}$

$\frac{3}{4}=e^{-k.t-60k}$(2)

Agora vamos colocar a equação (1) e (2) lado a lado:

$\frac{4}{5}=e^{-k.t}$

$\frac{3}{4}=e^{-k.t-60k}$

E vamos dividir a de baixo pela de cima:

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{4}{5}}=\frac{e^{-k.t-60k}}{e^{-k.t}}$

$\frac{15}{16}=e^{-k.t-60k+k.t}$

$\frac{15}{16}=e^{-60k}$

Aplicando Ln nos dois lados:

$\frac{15}{16}=e^{-60k}$

$Ln(\frac{15}{16})=-60k$

$Ln(15)-Ln(16)=-60k$

$Ln(3.5)-Ln(2^4)=-60k$

$Ln(3)+Ln(5)-4.Ln(2)=-60k$

Substituindo valores:

$1,10+1,61-4.0,69=-60k$

$-0,05=-60k$

$k=\frac{0,05}{60}$

$k=0,00083$

Agora que temos o valor de k, podemos descobrir o valor de t em tempo, usando a equação (1):

$\frac{4}{5}=e^{-k.t}$

$\frac{4}{5}=e^{-0,00083.t}$

Aplicando Ln dos dois lados:

$\frac{4}{5}=e^{-0,00083.t}$

$Ln(\frac{4}{5})=-0,00083.t$

$Ln(4)-Ln(5)=-0,00083.t$

$Ln(2^2)-Ln(5)=-0,00083.t$

$2.Ln(2)-Ln(5)=-0,00083.t$

$2.0,69-1,61=-0,00083.t$

$-0,23=-0,00083.t$

$t=\frac{0,23}{0,00083}$

$t=276$

Assim temos que t é  276 minutos ou 4h e 36 min, ou seja, 17h e 20min foram 4h e 36 min depois do assassinato, logo, este assassinato ocorreu as 12H e 44 min.

Sinto muito, mas não bateu com as resposta, nem foi necessário a utilização de logaritmo na base 10, uma vez que a lei de resfriamento é em base de logaritmos naturais. Não encontrei o meu erro, mas o procedimento é este, se encontrar algo me avise que eu corrijo.