Em um trapézio isósceles as bases AD e BC valem respectivamente 6cm e 24cm. Sabendo que a altura AH desse trapézio mede 12cm, determine a menor distância entre o ponto de intersecção das diagonais do trapézio e a base BC.
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O trapézio isósceles tem um eixo de simetria que contém os pontos médios das bases, aos quais chamaremos de M (em AD)} e N (em BC) e que também contém o ponto de encontro das diagonais, que chamaremos de E. Assim, MD = 3cm, BN = 12cm e MN = 12 cm. EN é o valor que procuramos.
Solução: Pelo ponto D, tracemos uma perpendicular à base BC, a qual irá determinar sobre ela o ponto F. Assim, DF é paralela a MN e tem o mesmo valor que ela (12cm), pois NDFN é um retângulo. No triângulo retângulo BDF assim formado, o cateto BF mede 15cm (12 + 3) e o cateto DF mede 12 cm. De acordo com o teorema de Pitágoras, a hipotenusa deste triângulo (BD) que é também a diagonal do trapézio, mede 19,2 cm (15² + 12² = BD²).
Os triângulos BDF e BEN são semelhantes e, portanto, podemos escrever que:
BF/BN = DF/EN, ou 15/12 = 12/EN . Assim, EN = 9,6 cm
Solução: Pelo ponto D, tracemos uma perpendicular à base BC, a qual irá determinar sobre ela o ponto F. Assim, DF é paralela a MN e tem o mesmo valor que ela (12cm), pois NDFN é um retângulo. No triângulo retângulo BDF assim formado, o cateto BF mede 15cm (12 + 3) e o cateto DF mede 12 cm. De acordo com o teorema de Pitágoras, a hipotenusa deste triângulo (BD) que é também a diagonal do trapézio, mede 19,2 cm (15² + 12² = BD²).
Os triângulos BDF e BEN são semelhantes e, portanto, podemos escrever que:
BF/BN = DF/EN, ou 15/12 = 12/EN . Assim, EN = 9,6 cm
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