Question

Em um torneio havia 7 times que jogaram todos contra todos uma vez. Todos os dias uma partida. Em determinado momento, observou-se que cada equipe havia disputado no máximo 3 partidas. Prove que qualquer uma das equipes tinha pelo menos 4 jogos para jogar naquele momento.​

Answer 1

A contraprova de validade da situação exposta segue abaixo.

$\dotfill$

Se cada time dos 7 disponíveis joga uma vez com cada outro, o número de partidas pode ser calculado pela combinação de 7 elementos tomados 2 a 2. Assim:

C(7,2) = 7! /(2! . 5!) = 21 partidas

Observe que cada time vai jogar 6 jogos.

Se em certo momento cada equipe tem no máximo 3 partidas, suponha que exista uma, pelo menos, com exatamente 3 partidas. A hipótese está dentro do que descreve o enunciado e o esquema abaixo ilustra essa possível configuração:

Exemplo de jogos disputados até então:

AB, BC, CD, DE, EF, FG e AC

Se isso acontece, o número de partidas que o time C ainda resta pra jogar é 3, pois cada time vai jogar 6 partidas. Desta forma, não vale que qualquer uma das equipes tenha pelo menos 4 jogos para jogar naquele momento.​

Até mais!