Question

Em um torneio de truco promovido pelo Brainly, no qual todas as partidas são eliminatórias, estão inscritos os jogadores :

Manuel272, Superaks, JoaoPCarv, Ludeen, GFerraz, HugoMoraes, SrTrindade e Optimistic.

Na primeira rodada, realiza-se um sorteio para dividir os jogadores em duplas, que comporão os jogos .

a) De quantas maneiras diferentes pode-se constituir a tabela de jogos da primeira rodada?
b) Manuel272, Superaks, GFerraz e HugoMoraes, que se conhecem há muito tempo no Brainly, não gostariam de se enfrentar logo na primeira rodada. Qual a probabilidade desses amigos acabarem se enfrentando logo nessa rodada?
c) Sabendo que dois dos quatro competidores supracitados realmente vão se enfrentar na primeira rodada, qual a probabilidade de que haja, nessa rodada, o jogo Manuel272 VS Superaks?

Answer 1

QUESTÃO - a) De quantas maneiras diferentes pode-se constituir a tabela de jogos da primeira rodada?

Podemos efetuar este cálculo (pelo menos) de 2 formas:

=> 1ª FORMA: utilizando a "lógica" e o PFC

selecionamos 1 dos 8 jogadores (qualquer que ele seja) ..e temos 7 possibilidades para escolher o seu adversário de onde resulta (1 . 7)

restam 6 jogadores e novamente vamos escolher 1 deles para combinar com qualquer dos outros 5 ..donde resulta (1 . 5)

restam agora 4 jogadores e novamente vamos escolher 1 deles para combinar com qualquer dos outros 3 ..donde resulta (1 . 3)

restam no final 2 jogadores e novamente vamos escolher 1 deles para combinar com o outro restante ..donde resulta (1 . 1)

Assim o total (N) de maneiras diferentes será dado por:

N = (1 . 7).(1 . 5).(1 . 3).(1 .1) = 7.5.3.1 = 105


=> 2ª FORMA: por Combinação Simples:

Assim e pela ordem apresentada anteriormente temos o número de possibilidades dado por C(8,2) ...C(6,2) ...C(4,2) ...C(2,2)

...mas estamos a falar de "eliminatórias" e de uma tabela e veja que uma tabela cujo sorteio dos grupos resulte em:

Manuel272 --> Superaks
JoãoPCarv --> Ludeen
GFerraz --> Hugo Moraes
Sr. Trindade --> Optimistic

..é a mesma tabela (os mesmos jogos) que:

GFerraz --> Hugo Moraes
Sr. Trindade --> Optimistic
JoãoPCarv --> Ludeen
Manuel272 --> Superaks

..por outras palavras ..ás combinações mencionadas acima temos de retirar estas permutações dos grupos entre si.

Assim o número (N) de maneiras diferentes seria dado neste caso por:

N = [C(8,2) . C(6,2) . C(4,2) . C(2,2)]/4! = 105 


QUESTÃO - b) Manuel272, Superaks, GFerraz e HugoMoraes, que se conhecem há muito tempo no Brainly, não gostariam de se enfrentar logo na primeira rodada. Qual a probabilidade desses amigos acabarem se enfrentando logo nessa rodada?

Para que nenhum deles se encontre logo na 1ª rodada isso implica que cada um deles tem de jogar com qualquer dos 4 jogadores restantes ..donde resulta o número de possibilidades (eventos favoráveis) 4!

Assim a probabilidade (P) de eles não se encontrarem no 1º jogo será dada por:

P = 4!/105

P = 24/105

..simplificando ..mdc = 3

P = 8/35 <-- probabilidade de NÃO se enfrentarem

P = 1 - 8/35 = 27/35 <-- probabilidade de SE enfrentarem


QUESTÃO - c) Sabendo que dois dos quatro competidores supracitados realmente vão se enfrentar na primeira rodada, qual a probabilidade de que haja, nessa rodada, o jogo Manuel272 VS Superaks?

...vamos aproveitar algum do trabalho já feito nas alíneas anteriores e REdefinir o "novo espaço amostral" (eventos possíveis).

-> sabemos que o total dos jogos (tabelas) é = 105
-> sabemos que o números de jogos (tabelas) em que nenhum deles se defrontam em duplas é = 24 

..logo o número de jogos (tabelas) em que há pelo menos uma "dupla" será = 105 - 24 = 81 <-- Eventos possíveis

..agora para REdefinir o número de eventos favoráveis vamos seguir o mesmo raciocínio da alínea (a)

...ou seja temos a "dupla" --> Manuel272 VS Superaks

....isso implica que restam apenas 6 jogadores para formar a tabela, donde as possibilidades podem ser dadas por:

--> (1 . 5) . (1 . 3) . (1 . 1) = 5 . 3 .1 = 15

ou dadas por:

--> [C(6,2).C(4,2).C(2,2)]/3! = 15

(note que os grupos agora são apenas três ..donde resulta 3!)

E pronto já temos todos os elementos de que necessitamos para cálculo da probabilidade

P = 15/81

...simplificando ...mdc = 3

P = 5/27 <-- probabilidade pedida


espero ter ajudado