Question

Em um teatro,cada fileira tem 2 assentos a mais que a anterior.atualmente há 5 fileiras, totalizando 50 assentos.
Para triplicar o número de assentos,continuando o mesmo padrão, será preciso acrescentar.
5 fileiras
6 fileiras
7 fileiras
8 fileiras
9 fileiras
Como que eu faço pra resolver?

Answer 1

Temos uma Progressão Aritmética neste problema.

A primeira fileira tem x assentos.

Cada fileira seguinte tem 2 assentos a mais.

Assim o valor de r desta PA é 2.

A soma dos cinco termos desta PA é 50.

Montamos a fórmula da soma dos termos de uma PA:

$S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})*n}{2}$

substituindo os valores:

$50=\frac{(a_{1}+a_{5})*5}{2}$

$50*2=(a_{1}+a_{5})*5$

$\frac{50*2}{5}=(a_{1}+a_{5})$

$(a_{1}+a_{5})=20$

Ou seja, a soma do primeiro termo com o quinto termo é igual à 20.

utilizando a formula do termo geral:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)*r$

temos que:

$a_{5}=a_{1}+(5-1)*2$

$a_{5}=a_{1}+4*2$

$a_{5}=a_{1}+8$

Substituindo:

$a_{1}+a_{1}+8=20$

$2a_{1}+8=20$

$2a_{1}=20-8$

$2a_{1}=12$

$a_{1}=12/2$

$a_{1}=6$

Agora que temos o primeiro termo, precisamos calcular com quantos termos a soma dos termos da PA chega a 150.

substituindo na fórmula da soma:

$150=\frac{\{6+[6+(n-1)*2]\}*n}{2}$

$150=\frac{\{6+[6+2n-2]\}*n}{2}$

$150*2=\{6+[4+2n]\}*n$

$300=\{10+2n\}*n$

$300=10n+2n^{2}$

$2n^{2}+10n-300=0$

utilizando Bhaskara:

$n_{1}=10$

$n_{2}=-15$

Como o número de fileiras não pode ser negativo, segue que o número TOTAL deve ser 10. Como já há 5 fileiras, será preciso acrescentar 10 - 5 = 5.

Resposta: 5 fileiras